2t−3 dt avec u = 2t − 3 ; (b) R y

L1 - Math´ ematiques pour la biologie - S1

Feuille d’exercices 5 - Int´ egration (2)

Exercice 1. Int´ egrer par changement de variable (a) R 5

2 1

2t−3 dt avec u = 2t − 3 ; (b) R _y

0

√ 3t

t

+5 dt avec u = t ² + 5 ; (c) R y

1 dt t √

1+t avec u = √

1 + t ; (on pourra utiliser l’identit´ e _u

¹ −1 = ¹ ₂

1

u−1 − _u+1 ¹ .) (d) R y

0 2dt

e

+e

avec u = e ^t ; (utiliser l’identit´ e _u

^u +1

= 1 − _u

¹ +1 ).

(e) R y 9 ln( √

t − 1)dt avec u = √ t.

(f) R _lntdt

t+t(lnt)

avec u = ln t.

(g) R 1 0

√ 1 − t ² dt avec u = sin t.

(h) R 1 0 t ² √

1 − t ² dt avec u = sin t.

Exercice 2. Calculer (a) R ₁

t

−t−12 dt ; (b) R ₁

t

+5t+6 dt ; (c) R ₁

t

−6t+9 dt ; (d) R ₁

4t

−4t−3 dt ; (e) R ₁

t

+t+1 dt ; (f) R _t−3

t

+t+1 dt ; (g) R _t

t

+2t+10 dt ;

Exercice 3. D´ eterminer les nombres r´ eels a, b tels que pour x ∈ R \ {−1; 2}

x + 2

(x + 1)(x − 2) = a

x + 1 + b x − 2 .

En d´ eduire une primitive de la fonction f d´ efinie par f (x) = _(x+1)(x−2) ^x+2 . Exercice 4. D´ eterminer les nombres r´ eels a, b et c tels que pour x ∈ R \ {1}

1

(x − 1)(x ² + 2) = a

x − 1 + bx + c x ² + 2 .

En d´ eduire une primitive de la fonction f d´ efinie par f (x) = _(x−1)(x ¹

+2) .

Exercice 5. D´ eterminer les nombres r´ eels a, b et c tels que pour x ∈ R \ {0, 1, −1}

x ² + x

x(x − 1)(x + 1) = a x + b

x − 1 + c x + 1 . En d´ eduire une primitive de la fonction d´ efinie par f (x) = x(x−1)(x+1) ^x

^+x .

1