E122. Des tas de sable primophiles Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° = k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?
On reconnaît la suite des nombres de Perrin : un = un-2 + un-3 avec u1 = 0, u2 = 2, u3 = 3. Les
solutions de cette récurrence linéaire sont de la forme un = axn + byn + czn , où x, y, z sont racines de X3 – X – 1 = 0, et a, b, c sont à préciser en rapport avec les valeurs initiales. X3 – X – 1 = 0 admet une racine réelle x ≈ 1,324717, y et z sont des nombres complexes conjugués, de module
1,324717-1/2 < 1 . En utilisant les relations entre coefficients et racines, calculons Sn = xn + yn + zn , S1 = x + y+ z = 0 = u1 , S2 = x2 + y2 + z2 = S12
– 2.(–1 ) = 2 = u
2, S
3= S
1+ 3 = 3 = u
3,
donc le calcul de a, b, c n'est pas nécessaire : a=b=c=1, et un = xn+ yn + zn . Posons f(t) = Σ[1,inf[ untn. Cette série converge pour |t| < 1/x ≈ 0,754878. La relation un = un-2 + un-3 multipliée par tn donne Σ[4,inf[ untn = t²Σ[2,inf[ untc.+ t3Σ[1,inf[ untn. D'où f(t) – (2t² + 3t3 ) = (t² + t3).f(t) , f(t)= (2t²+t3)
(1−t²−t3) f(t) = (– t). d
dt ln(1– t²–t3). Par la formule de Taylor, un = 1/n! dn
dtn [(– t). d
dt ln(1– t²– t3)]t =0 .
La formule de Leibniz pour la dérivée nième d'un produit donne : dn
dtn [(– t). d
dt ln(1– t²– t3)] = (– t). d(n+1)
dt(n+1) ln(1– t²– t3) – n dn
dtn ln(1– t²– t3) Pour t=0 ne subsiste que [ – n dn
dtn ln(1– t²– t3)], un = (– n).1/n! dn
dtn [(ln(1– t²– t3)]t =0 . un = (n).(coefficient de tn dans – ln(1– t²– t3) ). Pour |t² + t3| < 1 , c'est à dire |t| < 1/x on peut développer –ln en série : – ln(1 – t² – t3) = (t²+t3) + (t²+t3)2/2 + (t²+t3)3/3 +… Dès que l'exposant h dans (t²+t3)h/h dépasse n/2 cette expression ne contient que des termes de degré supérieur à n, le coefficient c de tn est donc une somme de fractions dont les dénominateurs sont inférieurs à n, et si n = p, nombre premier, ces dénominateurs, ainsi que le dénominateur de la fraction réduite c sont premiers avec p.
Le nombre entier up est donc de la forme p.c , c est alors un entier, et up est multiple de p.
Pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
– ln(1 – t² – t3) = t² + t3 + t4/2 + t5 + 5/6t6 + t7 + 5/4t8 + 4/3t9 + 17/10t10 + 2t11 +… , f(t) = 2t² + 3t3 + 2t4 + 5t5 + 5t6 + 7t7 + 10t8 + 12t9 + 17t10 + 22t11 + … , J'ai utilisé la deuxième approche dans le document de Gregory Minton .
Par contre si le nombre de grains de sable d'un n-ième tas est multiple de n, cela n'implique pas que n soit premier. On peut trouver dans la documentation le contre exemple n = 271441 = 521² proposé en 1982 par W.Adams et D.Shanks.
