E 122. Des tas de sable primophiles. ****
Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1, 2, 3, ...., n,.... Le premier tas est vide, le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. À partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° = k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?
Solution proposée par Michel Lafond
Notons a, b, c les 3 solutions de l’équation caractéristique (Il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées).
a, b, c vérifient les relations entre racines : Posons .
On a De plus a, b, c vérifient l’équation d’où la récurrence
(1) Donc
La suite S vérifie la récurrence avec c’est donc la suite qui donne le nombre de grains de sable du nème tas.
Si p est premier, la formule de Newton donne : [a, b, c sont provisoirement des variables indéterminées]
(2)
étant des entiers fixés de somme p, un seul au plus étant nul, est le coefficient multinomial correspondant à la somme symétrique de tous les monômes lorsque les lettres a, b, c permutent.
Ces sommes symétriques s’expriment donc comme des polynômes à coefficients entiers des 3 variables
Toutes ces sommes sont donc entières (positives ou négatives).
Exemple pour u = 0, v = 1, w = 2 :
Chaque coefficient multinomial est un multiple de p puisque u, v et w étant strictement inférieurs à p [sinon deux des paramètres u, v et w seraient nuls ce qui a été exclus] le facteur p figure une fois au numérateur et pas au dénominateur de
.
(2) avec les variables a, b, c qui reprennent leur valeur complexes, s’écrit alors :
Ce qu’il fallait démontrer.
Question subsidiaire.
On vient de voir que si p est premier, est multiple de p, mais la réciproque est fausse.
Le plus petit contre-exemple est alors que 271441 = 5212.
Voir Wikipédia « Suite de Perrin » qui cite l’article de John Grantham dans Journal of Number Theory Volume 130, Issue 5, May 2010, Pages 1117–1128 pour la démonstration (très difficile) de l’existence d’une infinité de contre-exemples.
