E122. Des tas de sable primophiles
Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1, 2, 3, ..., n.
Le premier tas est vide, le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois.
A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° = k – 2).
Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?
Solution proposée par Paul Voyer u1=0
u2=2 u3=3 u4=2 u5=5 uk=uk-3+uk-2
http://oeis.org/A001608 séquence de Perrin.
Q1
La propriété est indiquée dans OEIS et la démonstration attribuée à Edouard Lucas.
With the terms indexed as shown, has property that p prime => p divides a(p). The smallest composite n such that n divides a(n) is 521^2. For quotients a(p)/p, where p is prime, see A014981
Démonstration
Soient a, b, c les racines de l'équation x³-x-1=0.
(x-a)(x-b)(x-c)=0
x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x-abc=0 a+b+c=0
ab+bc+ca=-1 abc=1
u1=a+b+c=0
u2=a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=2 u3=a³+b³+c³=3
Par récurrence, un=an+bn+cn
car an=an-3+an-2, résulte de xn-3(x³-x-1)=0 si x=a, b, c.
On a l'identité :
(x+y+z)p = x y z x y z destermestousdivisibles par p k
j i
p p p p
p k j i
k j i
k j
i
0, 0, 0 ! ! !
!
car aucun des facteurs de i!, j!, k! ne divise p s'il est premier.
exemples (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ = a³+b³+ 3*(…)
(a+b)5=a5+5a4b+10a³b²+10a²b³+5ab4+b5 = a5+b5+ 5*(…) avec n=4, non premier, c'est faux
(a+b)4=a4+4a³b+6a²b²+4ab³+b4 a un coefficient 6 car 2 divise 4.
p premier quelconque divise up-u1p, donc aussi up. Q2
La réciproque n'est pas vraie, les exceptions sont appelées les pseudo-premiers de Perrin. Ils sont en nombre infini (Jon Grantham 2010).
Le plus petit pseudo-premier de Perrin est 521²=271 441.
(William Adams et Daniel Shanks 1982)
