E122 - Des tas de sable primophiles

Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du k^ième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de

l’antépénultième tas (n° = k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.

Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?

On a donc la relation de récurrence u

=u

+u

Soient x, y, z les racines du polynôme caractéristique de la récurrence r

=r+1 x+y+z=0=u

; x

+y

+z

=(x+y+z)

-2(yz+zx+xy)=2=u

; donc u

=x

+y

+z

. (x+y+z)

-(x

+y

+z

)=p*∑(p-1)!x

y

z

/(i! j! k!) , avec i, j, k strictement positifs et

i+j+k=p. Si p est premier, les termes (p-1)!/(i! j! k!) sont entiers, et le cofacteur de p est une fonction symétrique des racines qui s’exprime en fonction des coefficients, donc entière. Donc u

=(x+y+z)

=0 (mod p)

Comme pour le théorème de Fermat, la condition p premier est suffisante, mais sans doute pas nécessaire...

E122 - Des tas de sable primophiles