E122 des tas de sable primophiles

E122 des tas de sable primophiles

Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° = k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.

Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?

Solution proposée par Jean Nicot Soit un le nombre de grains du n^ième tas.

La suite possède la relation de récurrence un+3 = un+1 +un dont l’équation caractéristique est

r ³ - r -1 =0 Les racines sont r1, r2, r3 dont une seule est réelle r1=√¹

2−¹

2√23/27

3 +√¹

2+¹

2√23/27

3

r1 = 1,324717957244746.. et on a r2+r3=-r1 et r2r3 =1/r1

d’où r2 et r3 = (-r1±√𝑟1² −_𝑟1⁴ )/2 = (−𝑟1 ± 𝑖 √3𝑟1² − 4)/2 = -0,6623589786 ± i.0,5622795 un = a r1n

+ b r2n

+ cr3n

u0=u3 – u1= 3-0 = 3 = a + b + c u1 = 0 = 0 = ar1 + br2 + cr3

u2 = 2 = 2 = ar12

+ br22

+ cr32

Or ∑ 𝑟1 = 0 et ∑ 𝑟1² =(∑ 𝑟1)² +2 ∑ 𝑟1𝑟2 =2 d’où a=b=c=1 et un = r1n

+ r2n

+ r3n

Comme r2 et r3 sont, en module, inférieurs à 1, un est voisin de r1n

pour n grand.

Soit une matrice A appartenant à M3(Z). Pour p premier tr(A^p) = tr(A) modulo p.

|0 1 0 | |0 0 1 | | 1 1 0|

A = |0 0 1 | A² = |1 1 1 | A³ = |0 1 1 | donc A³ = A + Id |1 1 0 | |0 1 1 | |1 1 1 |

tr(A⁰)= tr(Id)=3 tr(A¹)=0 tr(A²)=2 tr(A³)=3

En posant tr(Aⁿ)=un on retrouve la suite précédente, avec la relation up=u1 modulo p c’est-à-dire up divisible par p si p est premier .

Question subsidiaire : Mais la réciproque est fausse. La plus petite exception est pour m= 271441=

521², um a alors environ 33150 chiffres. La suivante est pour m= 904631=7*13*9941. La liste de ces exceptions figure dans A013998.