2 (cos 3t,sin 2t) points multiples

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Courbes paramétrées

1. ^(Ecr01)Pour les courbes suivantes, étudier les points de- mandés et reconnaitre le support parmi les gures pro- posées

1 (_t₂^2t₋₁,^(t+1)_t₂ ²) points doubles, branches innies.

2 (cos 3t,sin 2t) points multiples.

3 (t+¹_t, t²+_t¹₂) équation cartésienne.

4 (_(t−1)(t+2)^t³ ,^t(t−2)_t−1 ) branches innies.

5 (te^t,¹_te^t) branches innies, points d'inexion.

6 (t(1−e^t),ln(cosht)) branches innies, points stationnaires.

7 (1

t + 2

t+ 1 + 3 t−1, 2

t + 3

t+ 1+ 1 t−1)

branches innies.

Fig. 1 Exercice 1 : courbe 1

Pour la recherche des points multiples de la deuxième ligne du tableau, on pourra montrer que sit1et t2 sont les paramètres d'un (vrai) point multiple alors ils sont tous les deux congrus à 0 ou a ^π₄ modulo ^π₆. Pour dé- terminer les points multiples former les tableaux des co- ordonnées pour ces valeurs du paramètre et chercher les doublons.

2. ^(Ecr02) Lemniscate. Soit S et S⁰ les points de coordon- nées(1,1)et(−1,−1). Former l'équation cartésienne de

l'ensembleC_k des pointsM tels que

−−→SM

−−→S⁰M

=k

Préciserk0pour que l'origine appartienne àCk₀. Trouver un paramétrage rationnel de Ck₀, tracerCk₀, former un paramétrage polaire.

3. ^(Ecr03)Préciser le support et étudier les questions parti-

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai _fex_crpdf du 28 février 2020

(2)

culières pour les paramétrisations polaires suivantes

r(t) = cos(t) + cos(2t): points multiples r(t) = sin2t

3 r(t) = 1 + tant

2 : point doubles, branches innies r(t) = ln(1 +t)

(1 +t)²

r(t) = 1

2 costcos 2t : branches innies

r(t) = 1

sint−sin 2t : branches innies r(t) = 2 cos²t

2 cost−sint : branches innies, pts stationnaires

r(t) = 1

√1 + sin 2t+√

1−sin 2t

4. ^(Ecr04)La podaire d'un point xé par rapport à une courbe paramétrée est la courbe formée par la projection ortho- gonale de ce point sur les tangentes à la courbe.

a. Montrer que la podaire de l'origine par rapport à une spirale logarithmiquer(θ) =ae^mθ est une spirale semblable à la première (c'est à dire image par une similitude)

b. Les limaçons de Pascal sont les podaires d'un cercle.

On considère un cercle de rayon 1 et de centre le point de coordonnées (−a,0) (gure 8). On note h(θ) le projeté de l'origine du repère sur la tangente enf(θ) = 0 +−→eθ. Discuter suivanta >0des variations de x◦h et du signe de y◦h. Dessiner les diverses formes (en particulier la formation de la boucle) de limaçon. Dans le cas où le point est sur le cercle, la courbe podaire est la cardioïde.

5. ^(Ecr05) Propriétés de la cardioïde La courbe est donnée sous forme polaire par :

f(θ) =O+ (1 + cosθ)−→e_θ a. Exprimer la direction de−→

f⁰(θ)en fonction de ^3θ₂.

(3)

f(θ)

h(θ) (−a,0)

T_θ

A O

Fig. 8 Exercice 4 : podaire d'un cercle.

b. Montrer que pour toute droite δdu plan, il existe trois points M1, M2, M3 en lesquels la tangente est parallèle à δ. Montrer que l'aire du triangle (M1, M2, M3)est constante.

c. SoitP etQdeux points de la cardioïde alignés avec O. Montrer que les tangentes sont orthogonales et que l'intersection de ces tangentes décrit un cercle.

6. ^(Ecr06)L' astroïde est la courbe

f(t) = (acos³t, asin³t)

Exprimer en polaire une courbe paramétrée telle que en chaque point de son support, on puisse mener deux tangentes orthogonales à l'astroïde. Dessiner les deux courbes.

7. ^(Ecr07)Déterminer l'ensemble des cercles passant par O et tangent à l'ellipse support de la courbe paramétrée t→O+ 2 cost−→

i + sint−→ j.

8. (Ecr08)Soit une courbe paramétrée (support notéC) t→Mt=O+t²−→

i +t³−→ j

Écrire l'équation de la tangente enMt. Caractériser les points d'où on peut mener trois tangentes. Déterminer la courbe orthoptique deC.

9. ^(Ecr09)Une courbe de Lissajoux.

Étudier la courbe paramétrée t→O+ cost−→

i + cos3t 5

−

→j

Préciser en particulier l'intervalle d'étude, les points multiples et stationnaires.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Courbes paramétrées : corrigés

1. Les courbes paramétrées représentées par les gures de 1 à 7 sont respectivement celles de numéros : 2, 7, 1, 5, 3, 4, 6.

2. pas de correction pour Ecr02.tex 3. pas de correction pour Ecr03.tex 4. pas de correction pour Ecr04.tex 5. pas de correction pour Ecr05.tex 6. pas de correction pour Ecr06.tex

7. ^(Ccr07) Pour un pointΩ_t de l'ellipse, on forme les équa- tions de la normale enΩ_t à l'ellipse et de la médiatrice deOΩ_t. Cela permet de calculer le point d'intersection et de former une paramétrisation de l'ensemble cherché.

8. L'équation de la tangente est 3tx+ 2y −5t³ = 0. Les points par où on peut mener trois tangentes sont ceux dont les coordonnéesx,ysont telles que la fonctiont→ 3tx+ 2y−5t³s'annule trois fois. Formons le tableau de variations de cette fonction ...

9. pas de correction pour Ecr09.tex