T 5/11 DS 8 : Correction 19 avril 2019 Enonc´´ es et corrections issues en grande partie de l’APMEP
Exercice 1 : QCM (10 points)
La courbeCci-dessous est la repr´esentation graphique, dans un rep`ere orthonorm´e, d’une fonctionf d´efinie et deux fois d´erivable sur l’intervalle [1 ; 7].
La droiteT est tangente `a la courbeC au point A(3 ; 3) et passe par le point de coordonn´ees (5 ; 0).
Le point A est l’unique point d’inflexion de la courbe C.
A.P.M.E.P.
!Baccalauréat ES Centres étrangers 10 juin 2015"
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’en- lève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
La courbeCci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [1; 7].
La droiteTest tangente à la courbeCau point A(3; 3) et passe par le point de coordonnées (5; 0).
Le point A est l’unique point d’inflexion de la courbeC.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
x y
O
C T
1. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf: a. f′(3)=3 b.f′(3)=3
2 c.f′(3)= −2
3 d.f′(3)= −3 2
2. On notef′′la fonction dérivée seconde de la fonctionf :
a. f′′(3)=3 b.f′′(3)=0 c.f′′(5)=0 d. f′′(2)=0
3. Toute primitiveFde la fonctionf est nécessairement : a. croissante sur
[1; 7]
b. décroissante sur [2; 7]
c.négative sur [2; 7] d.positive sur [1; 7]
1. On note f0 la fonction d´eriv´ee de la fonction f : a. f0(3) = 3 b. f0(3) = 3
2 c. f0(3) =−2
3 d. f0(3) =−3 2 2. On note f00 la fonction d´eriv´ee seconde de la fonctionf :
a. f00(3) = 3 b. f00(3) = 0 c. f00(5) = 0 d. f00(2) = 0
3. Toute primitive F de la fonctionf est n´ecessairement :
a. croissante sur [1 ; 7] b. d´ecroissante sur [2 ; 7] c. n´egative sur [2 ; 7] d. positive sur [1 ; 7]
4. On note I = Z 3
2
f(x) dx :
a. 16I 62 b. 26I 63 c. 36I 64 d. 46I 65 5. Soit la fonction g d´efinie surRpar g(x) = (x−2)ex. L’´equation g(x) = 0 admet surR:
a. aucune solution b. une seule solution
c. exactement deux solutions d. plus de deux solutions 6. On pose :I =
Z 1 0
−2xe−x2 dx. La valeur de I est :
a. 1−e−1 b. e−1−1 c. −e−1 d. e−1
7. La fonction h est d´efinie sur ]0 ; +∞[ parh(x) = (2x+ 4) lnx.
Pour tout nombrex de l’intervalle ]0 ; +∞[, h0(x) est ´egale `a : a. 2
x b. 2 lnx+ 4
x c. 2x+ 4
x d. 2 lnx+ 2x+ 4
x
T 5/11 DS 8 Page 2 sur 4 Solution:
1. R´eponse d. Par lecture graphique la tangente au point d’abscisse A, passe par le point de coordonn´ees B(5 ; 0), le coefficient directeur vaut : yB−yA
xB−xA
= 0−3 5−3 =−3
2,f0(3) =−3 2 2. R´eponse b
T est une tangente qui coupe la courbe C, courbe repr´esentative de f, en A est donc un point d’inflexion, ainsif00(3) = 0,
3. R´eponse a
Comme F0(x) =f(x) (puisque F est une primitive de f) et que pour tout x∈ [1 ; 7] : f(x) >
0⇒F0(x)>0 sur ce mˆeme intervalle, la fonction F est donc croissante sur [1 ; 7].
4. R´eponse c. Par lecture graphique : 36I 64, 5. R´eponse b.
Pour toutx, ex >0. Donc g(x) = 0 ⇐⇒ x−2 = 0 ⇐⇒ x= 2.
6. R´eponse b.
La fonctionx7−→ −2xe−x2 a pour primitive la fonction x7−→ e−x2. Donc I =
Z 1 0
−2xe−x2 dx=h e−x2i1
0 = e−1− e0 = e−1−1 7. R´eponse d.
Formule de d´erivation d’un produit : h0(x) = 2×lnx+ (2x+ 4)×1
x = 2 lnx+2x+ 4 x
T 5/11 DS 8 Page 3 sur 4
Exercice 2 : Probabilit´e (10 points)
D’apr`es l’AFDIAG (Association Fran¸caise Des Intol´erants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appel´ee intol´erance au gluten, est une des maladies digestives les plus fr´equentes. Elle touche environ 1 % de la population.
On estime que seulement 20 % des personnes intol´erantes au gluten passent le test pour ˆetre diagnostiqu´ees.
On consid`ere que si une personne n’est pas intol´erante au gluten, elle ne passe pas le test pour ˆetre diagnostiqu´ee.
On choisit au hasard une personne dans la population fran¸caise qui compte environ 66,6 millions d’habitants au 1erjanvier 2016.
On consid`ere les ´ev`enements :
• I :la personne choisie est intol´erante au gluten;
• T :la personne choisie passe le test pour ˆetre diagnostiqu´ee. PARTIE A
1. Recopier et compl´eter l’arbre de probabilit´es ci-dessous :
Baccalauréat TES A. P. M. E. P.
• T : « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».
PARTIE A
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
. . . I
. . . T . . . T
I . . .
0 T
1 T
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
3. Montrer quep(T)=0,002.
PARTIE B
L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.
On noteXla variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi deXpeut être assimilée à la loi normale d’espéranceµ=11 et d’écart-typeσ=4.
1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les pre- miers symptômes. Arrondir le résultat à 10−3.
2. Calculerp(X!6). Arrondir le résultat à 10−3.
3. Sachant quep(X!a)=0,84, donner la valeur deaarrondie à l’unité.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance µ=11 et d’écart-typeσ=4? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes.
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
−1
−2
−3
−4
Amérique du Nord 3 2 juin 2017
2. Calculer la probabilit´e que la personne choisie soit intol´erante au gluten et ne passe pas le test pour ˆ
etre diagnostiqu´ee.
3. Montrer quep(T) = 0,002.
PARTIE B
L’AFDIAG a fait une enquˆete et a constat´e que la maladie cœliaque ´etait diagnostiqu´ee en moyenne 11 ans apr`es les premiers symptˆomes.
On noteXla variable al´eatoire repr´esentant le temps en ann´ees mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque
`
a partir de l’apparition des premiers symptˆomes.
On admet que la loi de X peut ˆetre assimil´ee `a la loi normale d’esp´erance µ= 11 et d’´ecart-typeσ = 4.
1. Calculer la probabilit´e que la maladie soit diagnostiqu´ee entre 9 ans et 13 ans apr`es les premiers symptˆomes. Arrondir le r´esultat `a 10−3.
2. En utilisant le cours, donnerP(7< X <15). En d´eduirep(X 67). Arrondir les r´esultats `a 10−3. 3. Sachant quep(X6a) = 0,84, donner la valeur de aarrondie `a l’unit´e.
Interpr´eter le r´esultat dans le contexte de l’exercice.
4. Laquelle de ces trois courbes repr´esente la fonction de densit´e de la loi normale d’esp´erance µ= 11 et d’´ecart-type σ= 4 ? Justifier le choix. On pourra s’aider des r´eponses aux questions pr´ec´edentes.
Baccalauréat TES A. P. M. E. P.
• T: « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».
PARTIE A
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
. . . I
. . . T . . . T
I . . .
0 T
1 T
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
3. Montrer quep(T)=0,002.
PARTIE B
L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.
On noteX la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi deXpeut être assimilée à la loi normale d’espéranceµ=11 et d’écart-typeσ=4.
1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les pre- miers symptômes. Arrondir le résultat à 10−3.
2. Calculerp(X!6). Arrondir le résultat à 10−3.
3. Sachant quep(X!a)=0,84, donner la valeur deaarrondie à l’unité.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance µ=11 et d’écart-typeσ=4? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes.
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
−1
−2
−3
−4
Amérique du Nord 3 2 juin 2017
T 5/11 DS 8 Page 4 sur 4 Solution:
PARTIE A
1. L’arbre de probabilit´es ci-dessous :
Corrigé du baccalauréat ES A. P. M. E. P.
Exercice 3 5 points
Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L PARTIE A
1. On complète l’arbre de probabilités proposé dans le texte :
0,01 I
0,20 T 0,80 T
0,99 I 0 T
1 T 2. Formule de Bayes :p!
I∩T"
=pI
!T"
×p(I)=0,01×0,80=0,008 3. Formule de probabilités totales :
p(T)=p(T∩I)+p!
T∩I"
=pI(T)×p(I)+pI(T)×p! I"
=0,01×0,20+0,99×0=0,002.
PARTIE B
1. p(9!X!13)≈0,383 (à l’aide de la calculatrice).
2. p(X!6)=0,5−p(6!X!11)≈0,106 (à l’aide de la calculatrice).
3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve quea≈15 pour que P(X!a)=0,84.
Cela signifie donc que 84% des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus 15 pour être diagnostiqué après l’apparition des premiers symptômes.
4. On peut éliminer la courbe en pointillés noirs car elle correspond à une moyenne de 4.
Pour différencier les deux autres, on va utiliser le résultatP(9!X!13)≈0,383. Cette proba- bilité correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites verticales d’équationsx=9 etx=13. Une des surfaces est colorée en gris, l’autre est hachurée.
Celle qui est hachurée a une aire majorée par celle du rectangle tracé.
Le rectangle a pour aire 0,07×(13−9)=0,28.
L’aire hachurée est majorée par 0,28 donc ne peut pas être égale à 0,383; donc l’aire hachurée ne correspond pas à la bonne courbe.
La bonne courbe est donc celle dessinée en rouge.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
−1
−2
−3
−4 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,07
Amérique du Nord 3 2 juin 2017
2. Formule de Bayes : p(I∩T) =pI(T)×p(I) = 0,01×0,80 = 0,008 3. Formule de probabilit´es totales :
p(T) =p(T ∩I) +p(T∩I) =pI(T)×p(I) +pI(T)×p(I) = 0,01×0,20 + 0,99×0 = 0,002.
PARTIE B
1. P(96X 613)≈0,383 (`a l’aide calculatrice).
2. D’apr`es le coursP(7< X <15) =P(µ−σ < X < µ+σ)≈0,684.
D’o`u P(X <7) = 1−P(7< X <15)
2 ≈0,158.
3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que a ≈ 15 pour que P(X 6a) = 0,84. Cela signifie donc que 84% des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus 15 pour ˆetre diagnostiqu´e apr`es l’apparition des premiers symptˆomes.
4. La moyenne est 11, on peut donc ´eliminer la courbe centr´ee en 4.
D’apr`es le cours, nous savons que :P(µ−3σ6X6µ+ 3σ)≈0,997.
Donc cela donne :P(11−3×46X 611 + 3×4)≈0,997 soitP(−16X623)≈0,997. Cela correspond donc `a la courbe centr´ee en 11 avec l’´ecart-type le plus petit (donc la plus haute).
