Enonc´e noH127 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le parcours de Z´ephyrin, deOau point d’arriv´eeA, est la somme vectorielle desα-bonds.
L’addition des vecteurs est une op´eration commutative (le parcours a+b et le parcours b +a relient les 2 mˆemes points, sommets oppos´es d’un parall´elogramme de cˆot´es ´egaux `a a et b). Je peux donc supposer, pour d´eterminer le point d’arriv´ee, que les α-bonds sont faits par valeurs crois- santes deq, et pour une mˆeme valeur deq, par valeurs croissantes dep.
Pour q = 1, p = 0 et Z´ephyrin avance de 1 m`etre sur l’axe origine des directions.
Pour q = 2, p = 0 etp = 1 repr´esentent deuxα-bonds oppos´es, ramenant Z´ephyrin `a l’extr´emit´e du premier α-bond.
Pour chaque valeur deq >2,pva de 0 `aq−1 et lesq α-bonds correspondants forment un polygone r´egulier convexe, donc un parcours ferm´e ramenant Z´ephyrin `a l’extr´emit´e du premier α-bond.
Le point d’arriv´eeAest donc `a 1 m`etre deO sur l’axe origine des directions.
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