Universit´e de Cergy-Pontoise Dur´ee 3 heures
Math´ematiques L2 Mr Hebey
Alg`ebre Bilin´eaire et Int´egration - Juin 2015
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
Exercice 1: (4pts) SoientE,F deuxR-espaces vectoriels de dimension 3 de bases respectives B = (e1, e2, e3) et ˜B = (˜e1,˜e2,e˜3). Soient α, β ∈ R des r´eels. On consid`ere l’application lin´eairef :E→F d´efinie par
f(x1e1+x2e2+x3e3) = (αx1+βx2+αx3) ˜e1+ (x1+x2+βx3) ˜e2 + (3x1+ 2x2+αx3) ˜e3
pour tousx1, x2, x3∈R. Ecrire la matrice de repr´esentation def dans les basesB et ˜B. SiAest cette matrice, calculer le determinant deA. Montrer que pourβ = 1 l’application lin´eairef est un isomorphisme deE sur F pour toutes les valeurs de α mis `a part deux valeurs pr´ecises que l’on calculera. Montrer que pour β = 3 l’application lin´eairef est un isomorphisme deE surF pour toutα.
Exercice 2: SoitE unR-espace vectoriel de dimension 3, etB = (e1, e2, e3) une base deE. On noteB la forme bilin´eaire surE d´efinie par
B(x, y) =x1y1+ 2x2y2−(x1y2+x2y1) +x3y3 pour tousx=P3
i=1xiei ety =P3 i=1yiei.
(1)(2pts) Montrer queB est un produit scalaire surE.
(2)(2pts) Trouver une base orthonorm´ee pourB.
Exercice 3: (4pts) Enoncer le th´eor`eme de diagonalisation des endomorphismes sym´etriques. D´emontrer ce th´eor`eme dans le cas sp´ecifique de la dimension 2.
Exercice 4: Etudier la convergence des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes:
(1pt)I1= Z +∞
0
x2+ 2
x4+ 1dx , (1pt)I2= Z +∞
0
x2+ 3 x3+ 1dx , (1,5pt)I3=
Z 2π
0
cos(x)
x dx , (1,5pt)I4= Z +∞
0
2x+ 1
√x(x2+ 3)dx . Justifier vos r´eponses.
Exercice 5: (3pts) Calculer les int´egrales multiples I=
Z Z
D1
cos(x+y)dxdy etJ = Z Z
D2
x3y2dxdy o`u D1 ⊂ R2 est donn´e par D1 = n
(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x≤ π et 0 ≤ y ≤ π2o , et D2⊂R2est donn´e parD2=n
(x, y)∈R2 /0≤y≤x≤1o .
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