Le plan P : 2x − y + 2z + 2 = 0 de vecteur normal ~ n

TS Exo 9 Question 4.b (plan, sphère) 2012-2013

Le plan P : 2x − y + 2z + 2 = 0 de vecteur normal ~ n



 2

− 1 2



 et la sphère S de centre Ω(1; − 3; 1), de rayon 3.

• Quelles que soient les positions relatives d’une sphère et d’un plan, il existe un point de la sphère, disons P(a; b; c), tel que −→

ΩP et ~ n sont colinéaires. Il suffit de faire un dessin pour s’en convaincre.

−→ ΩP



 a − 1 b + 3 z − 1



 et ~ n



 2

− 1 2



 sont colinéaires donc on peut écrire que leurs coordonnées sont proportionnelles : (a − 1) × ( − 1) = 2(y + 3), 2(a − 1) = 2(c − 1), 2(b + 3) = − 1 × (c − 1)

Ce qui se simplifie de la manière suivante : a = c et b = − 1

2 (a + 5)

• Maintenant, il faut trouver un point P de la sphère qui est aussi dans le plan.

P ∈ P ⇔ 2a − b + 2c + 2 = 0. Or compte-tenu des conditions précédemment trouvées, on obtient : P ∈ P ∩ S ⇔ 2a −

− 1 2 (a + 5)

+ 2a + 2 = 0 ⇔ a = − 1, il s’en suite que c = − 1 et b = − 2. Le point chercher est donc P( − 1; − 2; − 1).

• Il ne reste plus qu’à vérifier que ΩP = 3 ΩP = p

( − 1 − 1)

+ ( − 2 + 3)

+ ( − 1 − 1)

= 3

Lycée Bertran de Born - BB 1 sur 1