ExErcicE n° 1 : Choisir la seule bonne réponse
1/ Soit P un plan dont une équation cartésienne est : 2x z 2 0 − + = . Un vecteur normal de P est a)
2
U 1
2
−
b) 2 V 1
0
−
c) 2 w 0
1
−
2/ Soit S une sphère d’équation cartésienne est : x
2+ y
2+ z
2= 1 et P le plan d’équation : x 1 0 + =
a) S P ∩ = ∅ b) S P est un po int ∩ c) S P est un cercle ∩
3/ Pour x >0 ln(x x ) +
2est égale à
a) ln(x) ln(x 1) + + b) ln(x )
3c) ln(3x) 4/ La primitive sur ] 0 , + ∞ [ de la fonction ln x
x x , qui s’annule en 1 est
a) 1
2x (ln x)
2 b) x 2 ln x c) x 2x ln x
ExErcicE n°2
Soit la suite (U
n0
n 1 2n n
U 1 2
U
+U 2 U
= −
= +
) définie sur IN par :
1/a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a : 1 + U
n+1= ( 1 + U
n) b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : U
2 n
2/ On considère la suite ( V
> - 1
n
) définie sur IN par : V
n=ln ( 1 + U
na ) Montrer que ( V
)
n
b) Exprimer V
) est une suite géométrique de raison 2
n
puis U
nc) Calculer :
en fonction de n.
n n
lim V
→+∞ . En déduire n
n
lim U
→ +∞
3/ On donne S = V
0+ V
1+ ………+ V a) Exprimer S en fonction de n
n-1b) Déterminer le plus petit entier naturel n
0pour lequel on a : S ≤ - 10 LYCEE PILOTE MONASTIR
SERIE N°
MATHEMATIQUES 2013/2014
Prof : MOHAMED BENZINA
Classe : 4T
ExErcicE n°3:
Soit la suite (u
n
0
n 1 n
u 6
u 1 u 2 ; n IN
+
3
=
= + ∈
) définie sur IN par
1) a) Montrer par récurrence pour tout entier n on a u
n≥ 3 b) Montrer que (u
nc) En déduire que (u
) est décroissante
n
2) Soit la suite (v
) est convergente et calculer sa limite
n
) définie sur IN par v
n= ln(u
n− 3) a) Montrer que (v
nb) Exprimer v
) est une suite arithmétique de raison r = -ln3
n
puis u
nc) Retrouver alors la limite de (u
en fonction de n
n
)
ExErcicE n°4 :
1/a) Ecrire sous forme algébrique : (9 2i) +
2b) Résoudre l 'équation (E) : z (9 2i)z 18i 0
2+ − − = 2/ Résoudre l 'équation (E') : Z (9 2i)Z 18i 0
4+ −
2− = 3/ le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o,u , v ) a) Placer les points A et B d’affixes respectives 1 i et 3i + b) Soit C le point d’affixe 1 + α i où α ∈ IR
Déterminer α pour que le triangle ABC soit rectangle en C
c) Pour α = 3 déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme ExErcicE n°5:
Soit f la fonction définie sur
] 0, +∞ [ par f (x) 1 2 ln(x) = +
1/ Dresser le tableau de variation de f.
2/ Soit g la fonction définie sur ] 0, +∞ [ par h(x) = f (x) x −
a) Dresser le tableau de variation de h
b) Montrer que l’équation f(x)=x admet exactement deux solutions qui sont 1 et α ∈ ] [ 3, 4
3/ a) Montrer que pour tout x de ] [ 3, 4 , on a : 0 f '(x) 2
≤ ≤ 3 b) En déduire que pour tout x de ] [ 3, 4 , on a : f (x) 2 x
− α ≤ 3 − α 4/ On considère la suite définie sur IN par 0
n 1 n
U 3
U + f (U ) , n IN
=
= ∈
a) Montrer que pour tout n ∈ IN on a : 3 ≤ U n ≤ 4
b) En déduire que pour tout
n 12
nn IN on a : U U
+
3
∈ − α ≤ − α
c) Montrer que pour tout
n n nn
