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2 2 2 2 ∂ f ( X , Y , Z ) ∂ f ( X , Y , Z ) ∂ f ( X , Y , Z ) 12! ∂ f j j j j j () () () ()+ o o o o o o o o o R ( t ) = X ( t ) − X + Y ( t ) − Y + Z ( t ) − Z + c ( t ) − ( t ) Δ I ( t ) + Δ T ( t ) + MP ( t ) + f ( X , Y , Z ) = f ( X , Y , Z ) + Δ X +

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

•  Cas des mesures de pseudo distances, modèle d’observation:

•  Modèle non linéaire => linéarisation du terme géométrique par développement en série de Taylor autour d’une position a priori (X

o

,Y

o

,Z

o

):

•  Conséquences:

–  Il faut connaître des coordonnées a priori des sites GPS (approximatives) –  Inconnues = ajustements à ces coordonnées a priori

–  Minimisation de la somme du carré des résidus (« moindres carrés ») –  Solution itérative

Estimation d’une position absolue

j

R

i

(t) = (

j

X (t) − X

i

)

2

+ (

j

Y (t) Y

i

)

2

+ (

j

Z (t) Z

i

)

2

+ c (

j

δ (t) δ

i

(t) ) + ΔI(t) + ΔT (t) + MP (t) + ε

f (X

i

,Y

i

,Z

i

) = f (X

o

,Y

o

,Z

o

) + ∂f ( X

o

,Y

o

, Z

o

)

∂X

o

ΔX

i

+ ∂f (X

o

,Y

o

, Z

o

)

∂Y

o

ΔY

i

+ ∂f ( X

o

,Y

o

,Z

o

)

∂Z

o

ΔZ

i

+ 1 2!

2

f

∂x

2

+ ...

(2)

•  Les dérivées partielles sont:

•  Le modèle linéarisé devient donc (en ignorant les termes de propagation atmosphérique):

Estimation d’une position absolue

∂f ( X

o

,Y

o

, Z

o

)

∂X

o

= −

j

X (t) − X

o

j

ρ

o

(t) =

j

a

Xi

∂f ( X

o

,Y

o

, Z

o

)

∂Y

o

= −

j

Y (t) − Y

o

j

ρ

o

(t) =

j

a

Yi

∂f ( X

o

,Y

o

, Z

o

)

∂Z

o

= −

j

Z(t)Z

o

j

ρ

o

(t) =

j

a

Zi

j

R

i

(t)=

j

ρ

o

(t) −

j

X (t) − X

o

j

ρ

o

(t ) ΔX

i

j

Y (t ) − Y

o

j

ρ

o

(t ) ΔY

i

j

Z (t ) − Z

o

j

ρ

o

( t) ΔZ

i

+c

j

δ (t ) − c δ

i

(t )

j

R

i

(t )−

j

ρ

o

( t) −c

j

δ (t ) = −

j

X (t ) − X

o

j

ρ

o

( t) ΔX

i

j

Y (t ) − Y

o

j

ρ

o

(t ) ΔY

i

j

Z (t ) − Z

o

j

ρ

o

( t) ΔZ

i

c δ

i

( t)

mesure a priori fourni gradients du modèle à ( X

o

,Y

o

,Z

o

) et inconnues (ajustements)

(3)

•  On pose:

•  Pour 4 satellites visibles simultanément d’une même station, on a donc:

•  Soit, sous forme matricielle, v = résidus:

•  Avec:

j

l=

j

R

i

(t)−

j

ρ

o

(t ) −c

j

δ(t )

1

l=

1

a

Xi

ΔX

i

+

1

a

Yi

ΔY

i

+

1

a

Zi

ΔZ

i

c δ

i

2

l=

2

a

Xi

ΔX

i

+

2

a

Yi

ΔY

i

+

2

a

Zi

ΔZ

i

c δ

i

3

l=

3

a

Xi

ΔX

i

+

3

a

Yi

ΔY

i

+

3

a

Zi

ΔZ

i

c δ

i

4

l=

4

a

Xi

ΔX

i

+

4

a

Yi

ΔY

i

+

4

a

Zi

ΔZ

i

c δ

i

L = ! A !

X + v P

L

= Σ

L

(

−1

)

Estimation d’une position absolue

A =

1

a

Xi 1

a

Yi 1

a

Zi

−c

2

a

Xi 2

a

Yi 2

a

Zi

−c

3

a

Xi 3

a

Yi 3

a

Zi

−c

4

a

Xi 4

a

Yi 4

a

Zi

c

#

$

%

%

%

%

&

' ( ( ( (

X = ! ΔX

i

Δ Y

i

ΔZ

i

δ

i

#

$

%

%

%

%

&

' ( ( ( (

L = !

1

l

2

l

3

l

4

l

#

$

%

%

%

%

&

'

(

(

(

(

(4)

•  Partant du problème sous forme matricielle, avec les résidus v:

•  On le résout par moindres carrés = on minimise la somme du carré des résidus (norme L2):

•  Les équations normales résultantes sont:

•  Et la solution finale:

•  Et la matrice de covariance des inconnues:

A T P L A x ˆ = A T P L L

x ˆ = ( A T P L A ) −1 A T P L L

J( x) = v

T

P

L

v = ( LAx )

T

P

L

( L Ax )

L ! = A !

X + v ( P

L

= Σ

−1L

)

Σ X = ( A T Σ −1 L A ) −1

Estimation d’une position absolue

(5)

Biais d’horloges: satellites

•  Actuellement ~5 ns = 1.5 m

•  Sous « selective availability » (S/A) => ~200 ns (60 m)

•  Orbites précises IGS contiennent des corrections de

biais d’horloge satellite

(6)

Biais d’horloge: récepteurs

•  Peuvent atteindre plusieurs kilomètres…

•  Varient parfois de manière simple/lisse ⇒ peuvent être modélisés par des polynômes – rarement le cas en réalité

•  Estimation à chaque époque de mesure? Difficile…

•  Une astuce: les doubles différences.

(7)

Double différences

•  Différence des observables de phase entre 2 sat. (k,l) et 2 réc. (i,j) en mètres:

⇒   Les biais d’horloge h

s

(t) et h

r

(t) sont éliminés (mais le nombre d’observations a diminué)

⇒   L’ambigüité de phase reste un entier.

⇒   Les erreurs communes aux récepteurs i et j s’annulent aussi (en partie):

–  Les erreurs dues à la réfraction atmosphérique sont minimisées si les récepteurs sont

suffisamment proches.

–  Les lignes de base courtes sont donc plus

précises que les longues. i

l k

j

L

klij

= ( L

ki

L

li

) ( L

kj

L

lj

)

= ( ρ

ik

− ρ

il

− ρ

kj

+ ρ

lj

) c h (

k

h

i

h

l

+ h

j

h

k

+ h

i

+ h

l

h

j

) λ ( N

ik

N

il

N

kj

+ N

lj

)

= ρ

ijkl

− λ N

ijkl

(8)

Estimation d’une position relative

•  Cas de deux stations, 4 satellites:

station A de position connue, on cherche à estimer la position de B.

•  On peut écrire 6 doubles différences…

mais seulement 3 sont indépendantes.

Par ex.:

•  Avec 6 inconnues (3 coordonnées pour A + 3 ambigüités de phase) => il faut au moins deux époques

d’observation

•  En général, pour r récepteurs, s satellites, le nombre de DD indépendantes est (r-1)x(q-1)

A B

ρ

1A

ρ

1B

ρ

A2

ρ

A4

ρ

B4

1 2

4 3

ρ

B2

ρ

A3

ρ

B3

L

12AB

= ( L

1A

L

1B

) ( L

2A

L

2B

)

L

13AB

= ( L

1A

L

1B

) ( L

3A

L

3B

)

L

14AB

= ( L

1A

L

1B

) ( L

4A

L

4B

)

L

12AB

= L

13AB

L

23AB

L

23AB

= L

24AB

L

34AB

.... etc

L

23AB

= ( L

2A

L

2B

) ( L

3A

L

3B

)

L

24AB

= ( L

2A

L

2B

) ( L

4A

L

4B

)

L

34AB

= ( L

3A

L

3B

) ( L

4A

L

4B

)

(9)

Estimation d’une position relative

•  La double différence L

24AB

(par exemple) s’écrit:

•  Avec:

•  Son expansion en série de Taylor est:

•  Equivalent à:

L

24AB

= ρ

AB24

− λ N

AB24

L

24AB

=

AB24

ρ

o

+ ∂ρ

AB24

x ΔX + ∂ρ

AB24

y ΔY + ∂ρ

AB24

z ΔZ − λ N

AB24

L

24AB

AB24

ρ

o

= ∂ρ

AB24

x

∂ρ

AB24

y

∂ρ

AB24

z 0 0 − λ

&

' ( )

* + Δ X ΔY ΔZ N

AB21

N

AB22

N

AB23

&

' ( ( ( ( ( ( (

)

* + + + + + + une observation une ligne de la +

matrice du modèle

vecteur des inconnues

ρ

AB24

= ρ

A2

− ρ

A4

− ρ

B2

+ ρ

B4

(10)

Estimation d’une position relative

•  La première dérivée partielle est:

•  Même dérivation pour les autres, ce qui permet de construire la matrice du modèle, puis d’écrire le modèle direct sous forme matricielle:

•  Dont la solution par moindres carrés est:

•  Et la covariance associée:

∂ρ

AB24

x

B

= ∂

x

B

( ρ

A2

− ρ

B2

− ρ

A4

+ ρ

B4

)

= ∂ρ

A2

x

B

− ∂ρ

B2

x

B

− ∂ρ

A4

x

B

+ ∂ρ

B4

x

B

= − ∂ρ

B2

x

B

+ ∂ρ

B4

x

B

= X

o

4

X

B

4

ρ

o

X

o

2

X

B 2

ρ

o

x ˆ = ( A

T

P

L

A )

−1

A

T

P

L

L

L = ! A !

X + v ( P

L

= Σ

−1L

)

Σ

X

= ( A

T

Σ

−1L

A )

−1

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