• Cas des mesures de pseudo distances, modèle d’observation:
• Modèle non linéaire => linéarisation du terme géométrique par développement en série de Taylor autour d’une position a priori (X
o,Y
o,Z
o):
• Conséquences:
– Il faut connaître des coordonnées a priori des sites GPS (approximatives) – Inconnues = ajustements à ces coordonnées a priori
– Minimisation de la somme du carré des résidus (« moindres carrés ») – Solution itérative
Estimation d’une position absolue
€
j
R
i(t) = (
jX (t) − X
i)
2+ (
jY (t) − Y
i)
2+ (
jZ (t) − Z
i)
2+ c (
jδ (t) − δ
i(t) ) + ΔI(t) + ΔT (t) + MP (t) + ε
€
f (X
i,Y
i,Z
i) = f (X
o,Y
o,Z
o) + ∂f ( X
o,Y
o, Z
o)
∂X
oΔX
i+ ∂f (X
o,Y
o, Z
o)
∂Y
oΔY
i+ ∂f ( X
o,Y
o,Z
o)
∂Z
oΔZ
i+ 1 2!
∂
2f
∂x
2+ ...
• Les dérivées partielles sont:
• Le modèle linéarisé devient donc (en ignorant les termes de propagation atmosphérique):
Estimation d’une position absolue
€
∂f ( X
o,Y
o, Z
o)
∂X
o= −
j
X (t) − X
oj
ρ
o(t) =
ja
Xi∂f ( X
o,Y
o, Z
o)
∂Y
o= −
j
Y (t) − Y
oj
ρ
o(t) =
ja
Yi∂f ( X
o,Y
o, Z
o)
∂Z
o= −
j
Z(t) − Z
oj
ρ
o(t) =
ja
Zi€
j
R
i(t)=
jρ
o(t) −
j
X (t) − X
oj
ρ
o(t ) ΔX
i−
j
Y (t ) − Y
oj
ρ
o(t ) ΔY
i−
j
Z (t ) − Z
oj
ρ
o( t) ΔZ
i+c
jδ (t ) − c δ
i(t )
€
j
R
i(t )−
jρ
o( t) −c
jδ (t ) = −
j
X (t ) − X
oj
ρ
o( t) ΔX
i−
j
Y (t ) − Y
oj
ρ
o(t ) ΔY
i−
j
Z (t ) − Z
oj
ρ
o( t) ΔZ
i− c δ
i( t)
mesure a priori fourni gradients du modèle à ( X
o,Y
o,Z
o) et inconnues (ajustements)
• On pose:
• Pour 4 satellites visibles simultanément d’une même station, on a donc:
• Soit, sous forme matricielle, v = résidus:
• Avec:
€
j
l=
jR
i(t)−
jρ
o(t ) −c
jδ(t )
€
1
l=
1a
XiΔX
i+
1a
YiΔY
i+
1a
ZiΔZ
i− c δ
i2
l=
2a
XiΔX
i+
2a
YiΔY
i+
2a
ZiΔZ
i− c δ
i3
l=
3a
XiΔX
i+
3a
YiΔY
i+
3a
ZiΔZ
i− c δ
i4
l=
4a
XiΔX
i+
4a
YiΔY
i+
4a
ZiΔZ
i− c δ
i€
L = ! A !
X + v P
L= Σ
L(
−1)
Estimation d’une position absolue
€
A =
1
a
Xi 1a
Yi 1a
Zi−c
2
a
Xi 2a
Yi 2a
Zi−c
3
a
Xi 3a
Yi 3a
Zi−c
4
a
Xi 4a
Yi 4a
Zi− c
#
$
%
%
%
%
&
' ( ( ( (
X = ! ΔX
iΔ Y
iΔZ
iδ
i#
$
%
%
%
%
&
' ( ( ( (
L = !
1
l
2
l
3
l
4
l
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
• Partant du problème sous forme matricielle, avec les résidus v:
• On le résout par moindres carrés = on minimise la somme du carré des résidus (norme L2):
• Les équations normales résultantes sont:
• Et la solution finale:
• Et la matrice de covariance des inconnues:
€
A T P L A x ˆ = A T P L L
€
x ˆ = ( A T P L A ) −1 A T P L L
€
J( x) = v
TP
Lv = ( L − Ax )
TP
L( L − Ax )
€
L ! = A !
X + v ( P
L= Σ
−1L)
€
Σ X = ( A T Σ −1 L A ) −1
Estimation d’une position absolue
Biais d’horloges: satellites
• Actuellement ~5 ns = 1.5 m
• Sous « selective availability » (S/A) => ~200 ns (60 m)
• Orbites précises IGS contiennent des corrections de
biais d’horloge satellite
Biais d’horloge: récepteurs
• Peuvent atteindre plusieurs kilomètres…
• Varient parfois de manière simple/lisse ⇒ peuvent être modélisés par des polynômes – rarement le cas en réalité
• Estimation à chaque époque de mesure? Difficile…
• Une astuce: les doubles différences.
Double différences
• Différence des observables de phase entre 2 sat. (k,l) et 2 réc. (i,j) en mètres:
⇒ Les biais d’horloge h
s(t) et h
r(t) sont éliminés (mais le nombre d’observations a diminué)
⇒ L’ambigüité de phase reste un entier.
⇒ Les erreurs communes aux récepteurs i et j s’annulent aussi (en partie):
– Les erreurs dues à la réfraction atmosphérique sont minimisées si les récepteurs sont
suffisamment proches.
– Les lignes de base courtes sont donc plus
précises que les longues. i
l k
j
€
L
klij= ( L
ki− L
li) − ( L
kj− L
lj)
= ( ρ
ik− ρ
il− ρ
kj+ ρ
lj) − c h (
k− h
i− h
l+ h
j− h
k+ h
i+ h
l− h
j) − λ ( N
ik− N
il− N
kj+ N
lj)
= ρ
ijkl− λ N
ijklEstimation d’une position relative
• Cas de deux stations, 4 satellites:
station A de position connue, on cherche à estimer la position de B.
• On peut écrire 6 doubles différences…
mais seulement 3 sont indépendantes.
Par ex.:
• Avec 6 inconnues (3 coordonnées pour A + 3 ambigüités de phase) => il faut au moins deux époques
d’observation
• En général, pour r récepteurs, s satellites, le nombre de DD indépendantes est (r-1)x(q-1)
A B
€
ρ
1A€
ρ
1B€
ρ
A2€
ρ
A4€
ρ
B41 2
4 3
€
ρ
B2€
ρ
A3€
ρ
B3€
L
12AB= ( L
1A− L
1B) − ( L
2A− L
2B)
L
13AB= ( L
1A− L
1B) − ( L
3A− L
3B)
L
14AB= ( L
1A− L
1B) − ( L
4A− L
4B)
€
L
12AB= L
13AB− L
23ABL
23AB= L
24AB− L
34AB.... etc
€
L
23AB= ( L
2A− L
2B) − ( L
3A− L
3B)
L
24AB= ( L
2A− L
2B) − ( L
4A− L
4B)
L
34AB= ( L
3A− L
3B) − ( L
4A− L
4B)
Estimation d’une position relative
• La double différence L
24AB(par exemple) s’écrit:
• Avec:
• Son expansion en série de Taylor est:
• Equivalent à:
€
L
24AB= ρ
AB24− λ N
AB24€
L
24AB=
AB24ρ
o+ ∂ρ
AB24∂ x ΔX + ∂ρ
AB24∂ y ΔY + ∂ρ
AB24∂ z ΔZ − λ N
AB24€
L
24AB−
AB24ρ
o= ∂ρ
AB24∂ x
∂ρ
AB24∂ y
∂ρ
AB24∂ z 0 0 − λ
&
' ( )
* + Δ X ΔY ΔZ N
AB21N
AB22N
AB23&
' ( ( ( ( ( ( (
)
* + + + + + + une observation une ligne de la +
matrice du modèle
vecteur des inconnues
€
ρ
AB24= ρ
A2− ρ
A4− ρ
B2+ ρ
B4Estimation d’une position relative
• La première dérivée partielle est:
• Même dérivation pour les autres, ce qui permet de construire la matrice du modèle, puis d’écrire le modèle direct sous forme matricielle:
• Dont la solution par moindres carrés est:
• Et la covariance associée:
€
∂ρ
AB24∂ x
B= ∂
∂ x
B( ρ
A2− ρ
B2− ρ
A4+ ρ
B4)
= ∂ρ
A2∂ x
B− ∂ρ
B2∂ x
B− ∂ρ
A4∂ x
B+ ∂ρ
B4∂ x
B= − ∂ρ
B2∂ x
B+ ∂ρ
B4∂ x
B= X
o−
4X
B
4
ρ
o−
X
o−
2X
B 2