A 334 Antoine Verroken
A.1 un nombre plus-que-parfait d’ordre k ( entier >1 ) a au moins k facteurs premiers distinct :
- somme des diviseurs (S) y compris 1 et lui même de N=p1^m*…pn^x p1^(m+1)-1 p2^(t+1)-1 pn^(x+1)-1
S = --- * --- * … * --- p1 – 1 p2 – 1 pn – 1 - afin que S soit égal à k*N il faut que n soit >= k
p1^(m+1)-1 p2^(t+1)-1 pn^(x+1)-1
k = --- * --- * …. * --- (1) p1^m*(p1-1) p2^t*(p2-1) pn^x*(pn-1)
- déterminer maximum de
p1^(m+1)-1 p1 1 r = --- = --- - ---
p1^m*(p1-1) p1 - 1 (p1-1)*p1^m
nombre premier p r maximum pour m infini
2 2 / 1 – 1 / 2^m 2 3 3 / 2 - 1 / 2 / 3^m 1.5 5 5 / 4 - 1 / 4 / 5^m 5/4 donc en général r ( max. ) = pi / ( pi – 1 )
- nombre facteurs premiers (1) maximum m infini distinct
1 k = 2 2
2 k = 2 * 1.5 3
3 k = 2 * 1.5 * 5/4 3.75
4 k = 2 * 1.5 * 5/4 * 7/6 4.37
5 k = 2 * 1.5 * 5/4 * 7/6 * 11/10 4.81 < 5
6 k =… 5.21
7 k = 5.85
- comme 2,3,5 donne k = 3.75 il est possible qu’il existe un nombre plus-que parfait avec 2,3,5 comme seuls facteurs premiers,mais pas de nombre plus-
que-parfait d’ordre 5 avec seuls facteurs premiers 2,3,5,7,11 B.1. nombres premiers 2 , 3 , 5 N = 2^a * 3^b * 5^c
a b c (2)
3 1 1 3
2 2 1 >3
N = 2^3 * 3 * 5 = 120
2. N = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d
a b c d (2)
1 1 1 1 2.74
1 2 1 2 3.02
3 3 2 2 4.006
5 3 1 1 5
N = 2^5 * 3^3 * 5 * 7 = 30.240
3. N= 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e * 17^f * 19^g
a b c d e f g (2)
1 1 1 1 1 1 1 3.3
2 1 1 2 2 1 2 4.0007
4 3 2 1 2 2 2 5.012
7 4 1 1 2 1 1 5
N =14.182.439.040
