MPSI B 9 septembre 2019
Énoncé
Soit n un entier naturel non nul et x1, x2,· · · , xn+1 des nombres réels. Pour k entier naturel entre1 etn+ 1, on dénitpk par :
pk=
k
Y
l=1
(1−xl)
1. Simplier
x1+pn+1+
n
X
k=1
pkxk+1
2. En déduire une expression très simple pour
S=
n
X
k=1
kfacteurs
z }| { n(n−1)· · · nk k
Corrigé
1. Cet exercice mélange les dominos multiplicatifs et additifs (sommes et produits téles- copiques). On exprime1−xk+1comme un quotient de termes consécutifs, puispkxk+1
comme une diérence : 1−xk+1= pk+1
pk ⇒xk+1= 1−pk+1
pk ⇒pkxk+1=pk−pk+1
Cela permet de simplier la somme x1+pn+1+
n
X
k=1
pkxk+1=x1+pn+1+p1−pn+1=x1+p1=x1+ 1−x1= 1
2. On veut appliquer la relation de la question précédente. Pourkentre1 etn, posons xk =k−1
n
On a alorsx1= 0 etxn+1= 1doncpn+1= 0. La relation devient
n
X
k=1
pkxk+1= 1
avec
pk = (1−x1)(1−x2)· · · (kfacteurs) =n−0 n
n−1
n · · · (k facteurs)
=
kfacteurs
z }| { n(n−1)· · ·
nk On en déduit
1 =
n
X
k=1
kfacteurs
z }| { n(n−1)· · ·
nk xk+1=
n
X
k=1
kfacteurs
z }| { n(n−1)· · ·
nk k
n ⇒S=n
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Asom2prod
