1 x = 0 donc, par somme, lim x→+∞f(x

Correction de l’interrogation écrite n^◦5 – Sujet A

Exercice 1

1) Comme f est une fonction polynôme, lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞−x³ donc lim

x→+∞f(x) = −∞. 2) lim

x→+∞x= +∞et lim

x→+∞

√x= +∞ donc, par produit, lim

x→+∞f(x) = +∞. 3) lim

x→+∞x= +∞et lim

x→+∞

1

x = 0 donc, par somme, lim

x→+∞f(x) = +∞. 4) lim

x→+∞

9x+1

x+3 = lim

x→+∞

9x

x = lim

x→+∞9 = 9 et lim

X→9

√X = √

9 = 3 donc, par composition,

x→+∞lim f(x) = 3 .

Exercice 2

1. Pour tout réel x,−16sin (x)61 donc 162 + sin (x)63 et, comme x²+ 1>0, on en déduit que 1

x²+ 1 ≤f(x)≤ 3 x²+ 1. 2. On a lim

x→−∞x²+1 = lim

x→+∞x²+1 = +∞donc, par quotient, lim

x→−∞

1

x²+ 1 = lim

x→−∞

3 x²+ 1 = 0 et lim

x→+∞

1

x²+ 1 = lim

x→+∞

3

x²+ 1 = 0.

On conclut alors, grâce au théorème d’encadrement, que lim

x→−∞f(x) = lim

x→+∞f(x) = 0 .

Exercice 3

a) Pour tout x∈R^∗, e^x−x+ 1 =x

e^x x −1

+ 1. Or, par théorème, lim

x→+∞

e^x

x = +∞ donc, par différence et produit, lim

x→+∞x

e^x x −1

= +∞.

Ainsi, par somme, lim

x→+∞x

e^x x −1

+ 1 = +∞. i.e. lim

x→+∞f(x) = +∞. b) On a lim

x→+∞e^x = +∞ donc lim

x→+∞

1

e^x = 0 et, par somme, lim

x→+∞f(x) = +∞. c) Pour tout réel x, f(x) = e^x

e^x

2 + 1 e^x

= 1

2 + 1 e^x

. Or, lim

x→+∞e^x = +∞ donc lim

x→+∞

1 e^x = 0

et ainsi, par somme et quotient, lim

x→+∞f(x) = 1 2 .

Correction de l’interrogation écrite n^◦5 – Sujet B

Exercice 1

1) Comme f est une fonction polynôme, lim

x→+∞f(x) = lim

x→+∞x³ donc lim

x→+∞f(x) = +∞. 2) lim

x→+∞x= +∞et lim

x→+∞

√x= +∞ donc, par produit, lim

x→+∞f(x) = +∞. 3) lim

x→+∞x= +∞et lim

x→+∞

1

x = 0 donc, par somme, lim

x→+∞f(x) = +∞. 4) lim

x→+∞

4x+1

x+3 = lim

x→+∞

4x

x = lim

x→+∞4 = 4 et lim

X→4

√X = √

4 = 2 donc, par composition,

x→+∞lim f(x) = 2 .

Exercice 2

1. Pour tout réelx, −1≤cos (x)≤1 donc 1≤2 + cos (x)≤3 et, comme x²+ 1>0, on en déduit que 1

x²+ 1 ≤f(x)≤ 3 x²+ 1. 2. On a lim

x→−∞x²+1 = lim

x→+∞x²+1 = +∞donc, par quotient, lim

x→−∞

1

x²+ 1 = lim

x→−∞

3 x²+ 1 = 0 et lim

x→+∞

1

x²+ 1 = lim

x→+∞

3

x²+ 1 = 0.

On conclut alors, grâce au théorème d’encadrement, que lim

x→−∞f(x) = lim

x→+∞f(x) = 0 .

Exercice 2 a) On a lim

x→−∞e^x = 0 et lim

x→−∞−x+ 1 = +∞donc, par somme, lim

x→−∞f(x) = +∞. b) Pour tout x∈R, 1

e^x +x= 1 +xe^x

e^x . Or, par théorème, lim

x→−∞xe^x= 0 donc, par somme,

x→−∞lim 1 + xe^x = 1 et, comme lim

x→−∞e^x = 0⁺, par quotient, lim

x→−∞

1 +xe^x

e^x = +∞ . Ainsi,

x→−∞lim f(x) = +∞.

c) Pour tout réel x, f(x) = e^−x e^−x

2 + 1 e^−x

= 1

2 + e^x. Or, lim

x→−∞e^x = 0 donc lim

x→−∞2 + e^x = 2 et ainsi, par quotient, lim

x→−∞f(x) = 1 2 .