Colle PCSI Semaine 5 2013-2014
EXERCICE 1 : Calculer cosπ
8
et sinπ 8
en utilisant des formules trigonométriques. En déduire une expression simple de p2 +√
2 + ip 2−√
28
. Réponse :−28
EXERCICE 2 :
Résoudre l’équation (7−6i)z2−2(7−6i)z−85 = 0.
Réponse :S={4 + i;−2−i}
EXERCICE 3 :
Résoudrez3−(5 + 3i)z2+ (7 + 16i)z+ 3−21i = 0.
On cherchera à mettre en évidence une solution imaginaire pure.
Réponse :S={3i; 3−i; 2 + i}
EXERCICE 4 : Réduire la somme
n
X
k=1
1 2k cos
kπ 3
, oùn>1.
Réponse :Sn= 1 2n√
3sinnπ 3
EXERCICE 5 :
Calculer pour θ∈]0; 2π[ etn∈N,
Cn=
n
X
k=0
cos(kθ) etSn =
n
X
k=0
sin(kθ)
Réponse :Cn = cos nθ
2
sin(n+1)θ
2
sin θ2 et Sn= sin nθ
2
sin(n+1)θ
2
sin θ2
EXERCICE 6 :
Déterminerαet β vérifiant 1 + eiα+ eiβ
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Colle PCSI Semaine 5 2013-2014
Corrections
EXERCICE 1 Non corrigé EXERCICE 2 Non corrigé EXERCICE 3 :
Résoudre (E), z3−(5 + 3i)z2+ (7 + 16i)z+ 3−21i = 0.
On cherchera à mettre en évidence une solution imaginaire pure.
On posez= ix, oùx∈R
et en remplaçant dans l’équation puis en séparant partie réelle et imaginaire,
5x2−16x+ 3 = 0
−x3+ 3x2+ 7x−21 = 0 La première équation donne deux solutions : 3 et 1
5, une seule vérifie l’autre équation, c’est 3. on conclut donc que 3i est solution de l’équation.
Après identification, on trouve que :
z3−(5 + 3i)z2+ (7 + 16i)z+ 3−21i = (z−3i)(z2−5z+ 7 + i) (E)⇔z= 3i ouz2−5z+ 7 + i = 0
L’équation du second degré est de discriminant ∆ =−3−4i, avec des racines carrées 1−2i et−1 + 2i. Ce qui donne comme solutions 2 + i et 3−i.
Réponse :S={3i; 3−i; 2 + i}
EXERCICE 4 :
n>1,
n
X
k=1
1 2k cos
kπ 3
= Re
n
X
k=1
1 2kei
kπ 3
= Re
n
X
k=1
eiπ3 2
k!
On calcule donc
n
X
k=1
eiπ3 2
k
= eiπ3 2 ×
einπ3 2n −1 eiπ3
2 −1 Or eiπ3
2 = 1 4+ i
√3 4 et eiπ3
2 −1 = i√ 3
1 4+ i
√3 4
.
On remplace et on obtient :
n
X
k=1
eiπ3 2
k
= 1 i√ 3
1
2ncosnπ
3 −1 + i 1 2nsinnπ
3
Réponse :Sn= 1 2n√
3sinnπ 3
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