Exercice 1 (3,5 points) Partie A Un client choisit un

Exercice 1 (3,5 points)

Partie A

Un client choisit unfilm au hasard parmi les 120films proposés.

1.Il y a 40 comédie parmi les 120films. La probabilité de choisir au hasard une comédie est donc de 40 120 = 1

3 (réponse b) 2.Sur les 80 thrillers, 75% sont américains. La probabilité que le thriller choisi soit américain est donc de 0,75(réponse d) 3.40 % des comédies sont américaines. Il y a donc 16 comédies américaines parmi les 120films. La probabilité de choisir une comédie américaine est donc de 16

120 = 2

15 (réponse c)

4.Il y a donc 24 comédies européennes et 20 thrillers européens. Les films européens sont donc au nombre de 44 parmi les

120films. La probabilité de tirer unfilm européen est donc de 44

120 =11

30 (réponse d)

5.Parmi les 76 films américains (120−44),60 sont des thrillers (75 % de 80). La probabilité que le film soit un thriller sachant qu’il est américain est donc de 60

76 = 15

19 (réponse b).

Partie B

On admet que le stock du club vidéo reste constant. Chaque jour de la semaine, du lundi au dimanche, un client choisit un

film au hasard parmi les 120films proposés.

1.Le contraire de "au moins une comédie européenne " est " 0 comédie européenne" Il y a 24 comédies européennes donc 96 films autres que des comédies européennes. Le stock étant supposé constant, les tirages sont indépendants et la probabilité de tirer sept fois unfilm autre qu’une comédie européenne est de

µ96 120

¶7

= 16384 78125. La probabilité recherchée est donc de1−16384

78125 = 61 741

78 125 (réponse b)

2.On renouvelle sept fois de manière indépendante une épreuve aléatoire ne pouvant avoir que deux issues (on peut considérer comme succès le choix d’une comédie européenne dont la probabilité est 24

120 = 1

5).La variable aléatoireX qui prend pour valeur le nombre de succès, c’est à dire de comédies européennes suit donc une loi binômiale de paramètren= 7etp= 1

5. On en déduit quep(X= 4) =¡₇

4

¢µ 1 5

¶4µ 4 5

¶3

= 448

15 625 (réponse a)

Exercice 2 (5,5 points)

1. a. Faux: la suite(u_n)définie paru_n =(−1)ⁿ

n converge vers0mais n’est pas monotone.

b. Faux: la suite(u_n)définie paru_n = 1− 1

n est croissante et majorée par 2 mais converge vers1. En fait une telle suite converge vers un réel inférieur ou égal à 2.

c. Vrai Rappelons la définition d’une suite divergente vers +∞ : Pour tout réel positifA, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieur ou égaux àA.Rappelons de même la définition d’une suite non majorée : Pour tout réel positifA, il existe un rangn0tel que un0 soit supérieur àA.

Ainsi, la suite étant non majorée, il existe un rangn₀tel queu_n0 soit supérieur àAet étant croissante, pour toutnsupérieur àn₀, u_n≥u_n0.Ainsi, pour toutA,tous les termes de la suite de rang supérieur ou égal àn₀ sont supérieurs àAet la suite diverge vers+∞.

d. Faux. La fonction f définie sur Rpar f(x) =|x| est définie en 0mais non dérivable en 0puisque sa dérivée à gauche de0vaut−1et sa dérivée à droite vaut +1.Une fonction peut très bien être définie en une valeur dexsans que sa courbe admette en ce point une tangente.

La fonction√

xen0aurait aussi fait l’affaire, puisqu’elle est définie en0, mais non dérivable en0.

e. Faux . Une fonction en escalier quelconque, la fonction partie entière par exemple constitue un contrexemple.

f. Vrai: il faut montrer d’après la définition que l’une est croissante, l’autre décroissante et que leur différence tend vers0.

Fun =3n²−1

n² ⇒un= 3− 1

n² donc(un)est croissante pourn >0.

En effet,u_n+1−u_n= Ã

3− 1

(n+ 1)²

!

− µ

3− 1 n²

¶

⇒u_n+1−u_n= 1

n² − 1 (n+ 1)²

= 2n+ 1

n²(n+ 1)² ⇒un+1−un >0.

FDe mêmev_n= 3n²+ 1

n² ⇒v_n= 3 + 1

n² donc(u_n)est décroissante pour n >0.

En effetv_n+1−v_n= 1

(n+ 1)² − 1

n² ⇒v_n+1−v_n = −2n−1

n²(n+ 1)² ⇒v_n+1−v_n <0.

FEnfin,u_n−v_n= µ

3− 1 n²

¶

− µ

3 + 1 n²

¶

⇒u_n−v_n= −2 n². On a donc lim

n→+∞u_n−v_n = lim

n→+∞

−2 n² = 0.

Les trois conditions sont remplies et les suites sont adjacentes.

On en déduit d’ailleurs qu’elle convergent vers la même limite, mais cette limite commune de3était facile à trouver dès le départ.

Exercice 3 (7 points)

1.1.La fonction proposée peut être considérée comme l’opposé d’un taux d’accroissement.

En effet 1−e^−x

x = e⁻⁰−e^−x

x−0 =−e^−x−e⁻⁰ x−0 .

C’est bien l’opposé du taux d’accroissement de la fonctione^−xentrexet0.La fonctione^−xétant dérivable en0,cette limite est égale à l’opposé du nombre dérivée de la fonctione^−xen0.

La dérivée de la fonctione^−xétant−e^−x,sa dérivée vaut−1en0. Ainsi lim

x→0

1−e^−x

x = 1

1.2.La fonction g est continue en0si et seulement si elle est définie en0et que lim

x→0g(x) =g(0). Fgest définie en0puisqueg(0) = 0.

FDe plus, pour toutxtel que0< x <1, g(x) = (1−e^−x) lnx⇒g(x) =1−e^−x

x × x

lnx. Or lim

x→0

lnx

x = +∞ ⇒ lim

x→0

x lnx= 0 De plus lim

x→0

1−e^−x

x = 1.Donc d’après le théorème de la limite d’un produit, lim

x→0g(x) = 0 c’est à dire lim

x→0g(x) =g(0). La fonctiong est bien continue en0.

Remarque: étant continue sur]0; 1]comme composée, somme et produit de telles fonctions,gest continue sur[0; 1]. 2.1.La fonctiongest dérivable en0si et seulement si g(x)−g(0)

x−0 =(1−e^−x) lnx

x admet une limite en0.

Sachant que lim

x→0

1−e^−x

x = 1et lim

x→0lnx=−∞, lim

x→0

g(x)−g(0)

x−0 =−∞ d’après le théorème de la limite d’un produit.

La fonction n’est pas dérivable en0et la courbe admet au point d’abscisse 0, qui est l’origine, une tangente parallèle à l’axe(Oy)

Sa dérivée s’obtient en dérivant un produit :g⁰(x) = (1−e^−x)⁰lnx+ (1−e^−x) (lnx)⁰

=e^−xlnx+1−e^−x x Doncg⁰(x) =e^−x(xlnx−1) + 1

x et g⁰(x) =e^−x(xlnx+e^x−1) x

3.1.f est dérivable sur]0; 1]comme somme et produit de telles fonctions.

Pour tout réelxde]0; 1], la dérivée dexlnxs’obtient en dérivant un produit : (xlnx)⁰= lnx+x 1 x On en déduit que f⁰(x) = lnx+e^x+ 1

3.2.f⁰ est croissante si et seulement si sa dérivéef”(x)≥0 Orf”(x) = 1

x+e^xest strictement positif pour tout xstrictement positif.

La fonctionf⁰ est donc strictement croissante sur ]0; 1].

On peut aussi dire quef⁰ est croissante sur ]0; 1]comme somme de fonctions croissantes sur]0; 1]. Sa limite en0 étant−∞, elle croît de −∞à e+ 1 sur l’intervalle ]0; 1].

3.3.La fonction f⁰ est donc continue car dérivable et strictement croissante sur ]0; 1]. Sa limite en 0 est négative et f⁰(1)est positif. D’après le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection),elle s’annule une fois et une seule sur cet intervalle.

A la calculette, on obtient:f⁰(0.11)≈ −9.099 7×10⁻²etf⁰(0.12)≈7.233 3×10⁻³ donc α∈]0.11; 0.12[

3.4.f⁰ étant strictement croissante et s’annulant enα,elle sera négative sur]0;α[, nulle enαet positive sur]α; 1[. Il faut encore étudier les limites def en 0 :

xlim→0xlnx= 0donc lim

x→0f(x) = 0.D’où le tableau de variations :

f(α) 0

f '(x )

f ( x)

0 α ¹

− 0 +

x

e-1

Question 3.4

g(β) 0

g '(x )

g ( x )

0 β ¹

− 0 +

x

0

Question 4.

3.5.La fonctionf est strictement décroissante sur]0;α[avec lim

x→0xlnx= 0.La fonction ne s’annule donc pas sur]0;α[.

La fonctionf est strictement croissante sur]α; 1[ avecf(α)<0et f(1)>0.

Elle s’annule donc une fois et une seule sur]α; 1[.

Elle s’annule donc une seule fois sur l’intervalle]0; 1[.

4. On a établi au2.2.queg⁰(x) =e^−x

x (xlnx+e^x−1)doncg⁰(x) = e^−x x f(x).

D’après ce qui précède,f(x)est négative sur]0;β[,nulle enβ et positive sur]β; 1[. Puisque e^−x

x >0sur]0; 1[, g⁰(x)est du signe def(x).D’où le tableau de variations ci-dessus :

Exercice 4 (6 points)

¯¯

¯¯−1 z

¯¯

¯¯= 1

|z| ⇒ |z⁰|= 1

|z| ; arg(z⁰) = arg (−1)−arg (z)⇒ arg (z⁰) =π−arg(z) + 2kπ 1.2.|z1|= 2⇒|z₁⁰|= 1

2.M₁⁰ est donc lui sur le cercle(C⁰)de centreO et de rayon 1 2.

Un argument dez₁⁰ estπ−arg(z₁).On pourra placer le pointM”₁ symétrique de M₁ dans la symétrie d’axe(Oy) (son argument est alors π−arg(z₁)). On trace ensuite la droite[OM”₁)qui coupe le cercle (C⁰)enM₁⁰.

2. Pour cette questionθest un réel etM est le point d’affixez=e^iθ. 2.1.z=e^iθ⇒z_I = 1

2

¡e^iθ−e^−iθ¢

⇒ z_I =isinθ . Le pointIappartient donc à l’axe(Oy).

2.2.M2∈(C)⇒|z2|= 1⇒x²₂+y²₂= 1⇒zI =iydoncI appartient à l’axe(Ox) Remarque: un point de vue plus géométrique pourrait être :

|z2|= 1⇒|z₂⁰|= 1.M₂⁰ est donc lui aussi sur le cercle(C)de centreO et de rayon 1.

Un argument dez⁰₂ seraπ−arg(z₂). M₂⁰ est donc le symétrique deM₂ dans la symétrie d’axe(Oy). Le pointI2 se trouve alors naturellement sur l’axe (Oy) à la même ordonnée queM2.

2.3.LorsqueM décrit le cercle(C), θdécrit l’intervalle[0; 2π]doncsinθdécrit l’intervalle[−1; 1], et, d’après ce qui précède, Idécrit le segment[AB].On est en présence d’une transformation géométrique qui transforme un cercle en segment ! ! ! 3.Dans cette question,M est un point du plan distinct deO.

3.1.M etI sont confondus si et seulement si ils ont même affixe, c’est à dire si et seulement si 1 2

µ z−1

z

¶

=z.

Ainisz_I =z⇔ 1 2

µ z−1

z

¶

=z

⇔ 1 2

µz²−1 z

¶

=z

⇔z²−1 = 2z²

⇔z²=−1

⇔z=iouz=−i

On voit que les seuls points convenables sont les points d’affixeAetB.

3.2.(z−2i)²+ 3 =z²−4iz−1 3.3.zI = 2i⇔ 1

2 µ

z−1 z

¶

= 2i

⇔ 1 2

µz²−1 z

¶

= 2i

⇔z²−1 = 4iz

⇔z²−4iz−1 = 0

⇔(z−2i)²+ 3 = 0, d’après ce qui précède

⇔(z−2i)²=−3

⇔z−2i=i√

3ouz−2i=−i√ 3

4. Dans cette questionM est un point du plan distinct deO d’affixez=x+iy.(xety réels).

4.1.z_I = 1 2

µ z−1

z

¶

⇒z_I = 1 2

µz²−1 z

¶

= 1 2

µz²z−z zz

¶

Orzz=|z|².On a donc zI = 1 2

Ãz|z|²−z

|z|²

!

Et en posantz=x+iy.on obtient :zI = 1 2

Ã(x+iy)¡

x²+y²¢

−(x−iy) x²+y²

!

⇒zI = 1 2

à ¡x³+xy²−x¢ +i¡

y³+x²y+y¢ x²+y²

!

ou encorez_I =1 2

Ãx¡

x²+y²−1¢ +iy¡

x²+y²+ 1¢ x²+y²

!

Ainsi Re (zI) = x¡

x²+y²−1¢

2 (x²+y²) et Im (zI) =y¡

x²+y²+ 1¢ 2 (x²+y²)

4.2.Iappartient à l’axe des abscisses si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc si et seulement si

½ y¡

x²+y²+ 1¢

= 0 x²+y²6= 0 Orx²+y²+ 1>1,et l’équation est équivalente à y= 0.

L’ensembleE des points recherché est donc l’axe(Ox)privé deO (puisquez6= 0).

4.3.Iappartient à l’axe des ordonnées si et seulement si sa partie réelle est nulle, donc si et seulement si

½ x¡

x²+y²−1¢

= 0 x²+y²6= 0 Orx¡

x²+y²−1¢

= 0⇔x= 0oux²+y²= 1.

L’ensembleF est donc la réunion du cercle(C)et de l’axe(Oy)privé deO

O

B

A

M1 M"1

M'1

M'2 M2

I2