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Exercice 1. Quelle est la série de Fourier de la fonction x 7→ cos 4 (x) ? Quelle est la série de Fourier d’un polynôme trigonométrique ?

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Academic year: 2022

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MAT402 Année 2018-2019 Feuille d’exercices 5

Exercice 1. Quelle est la série de Fourier de la fonction x 7→ cos 4 (x) ? Quelle est la série de Fourier d’un polynôme trigonométrique ?

Exercice 2. Soit f : R → R , 2π-périodique, égale à |x| sur [−π, π[. Tracer le graphe de f , donner sa série de Fourier et étudier la convergence de celle-ci. En déduire la valeur des sommes des séries

X

k∈ N

1 (2k + 1) 2

!

, X

n∈ N

1 n 2

!

, X

k∈ N

1 (2k + 1) 4

!

, X

n∈ N

1 n 4

! .

Exercice 3. Développer la fonction f : x 7→ | sin x| en série de Fourier et en déduire la valeur des sommes P +∞

n=1 1

4n

2

−1 et P +∞

n=1 1 (4n

2

−1)

2

.

Exercice 4. Montrer que pour tout t ∈ ]0, π[, −t + 2π =

+∞

X

n=1

2(2 + (−1) n+1 )

n sin(nt).

Exercice 5. Montrer que pour tout x ∈ [0, π],

x(π − x) = π 2 6 −

+∞

X

n=1

cos(2nx) n 2 = 8

π

+∞

X

n=0

sin((2n + 1)x) (2n + 1) 3 .

Exercice 6. Montrer que pour tout t ∈ [0, 2], t 2 = 4 3 +

+∞

X

n=−∞

n6=0

2 + 2iπn π 2 n 2 e inπt .

Exercice 7. Pour chacune des propriétés suivantes, représenter l’allure du graphe d’une fonction f : R → R (non constante) 2π-périodique et continue par morceaux la satisfaisant, et montrer que certains coefficients de Fourier de f , à préciser, sont alors nuls :

a) ∀x ∈ R , f(x + π) = f (x) ; b) ∀x ∈ R , f(x + π) = −f(x) ; c) ∀x ∈ R , f (π − x) = f (x) ; d) ∀x ∈ R , f(π − x) = −f (x).

Exercice 8. Montrer que pour tout x ∈ R et α ∈ [0, 1[ ,

+∞

X

n=0

α n cos(nx) = Re

1 1 − αe ix

= 1 − α cos(x)

1 + α 2 − 2α cos(x) , puis que

1 2π

Z 2π

0

1 − α cos(x)

1 + α 2 − 2α cos(x) cos(nx) dx =

( α n /2 si n 6= 0, 1 si n = 0.

Exercice 9. Soit p ∈ N et f : R → R , 2π-périodique et de classe C p . Pour tout n ∈ Z , calculer c n (f) en fonction de c n (f (p) ). Montrer que c n (f ) = O(1/n p ).

Exercice 10. (Type examen). On considère la fonction f : R → R , 2π-périodique, telle que f(x) = sin(x/2) si x ∈ [0, 2π[.

1) Montrer que la série X

n≥1

1

(2n − 1)(2n + 1) converge.

(2)

2) La fonction f est-elle : a) continue sur R ? b) dérivable sur R ?

c) de classe C 1 par morceaux sur R ?

3) On rappelle que les formules des produits de fonctions trigonométriques peuvent se retrouver à l’aide de l’exponentielle complexe. Montrer que la série de Fourier associée à f est la série de fonctions (avec abus de notation) :

2 π − X

n≥1

4

π(2n − 1)(2n + 1) cos(nx)

! .

4) a) Quel est le domaine de convergence simple de cette série de Fourier ? b) La convergence est-elle normale sur ce domaine ?

c) Quelle est la fonction somme de la série de Fourier sur ce domaine ? 5) Trouver la valeur de

+∞

X

n=1

1

(2n − 1)(2n + 1) , tout d’abord en utilisant le théorème de Dirichlet, puis en remarquant qu’on a une somme téléscopique.

Exercice 11. Soient a, b ∈ R tels que a < b, soit u une fonction positive et décroissante sur [a, b]

telle que u(a) = 1 et u(b) = 0, et v une fonction continue sur [a, b] telle que |v(t)| ≤ 1 ∀t ∈ [a, b].

1) Pour tous n ∈ N et k ∈ {0, . . . , n}, on pose t k = a + k(b − a)/n et I n =

n−1

X

k=0

u(t k+1 ) Z t

k+1

t

k

v(t) dt.

Montrer que I n

Z b

a

u(t)v(t) dt ≤ 1

n . 2) Montrer que I n =

n−1

X

k=0

(u(t k ) − u(t k+1 )) Z t

k

a

v(t) dt.

3) Montrer que

Z b

a

u(t)v(t) dt

≤ max

x∈[a,b]

Z x

a

v(t) dt

(faire une transformation d’Abel).

4) Application : montrer que si f est une fonction 2π-périodique et monotone par morceaux, ses coefficients de Fourier sont en O(1/n).

5) Retrouver ce résultat par une intégration par partie lorsque f est supposée de classe C 1 par morceaux.

Exercice 12. On admet qu’il existe C ∈ R + tel que pour tout (t, L) ∈ R × N , | P L l=1

sin(lt) l | ≤ C.

On pose, pour tout (t, k) ∈ R × N ,

u k (t) = sin(4 k

2

t) k 2

2

k2

X

l=1

sin(lt) l . 1) Montrer que la série de fonctions ( P

k∈ N

u k ) converge normalement sur R , et que sa somme, notée f, est continue et 2π-périodique.

2) Calculer les coefficients de Fourier de u k pour tout k ∈ N . Exprimer les coefficients de Fourier de f en fonction des coefficients précédents.

3) Pour tout N ∈ N , on note S N (f ) la somme partielle à l’ordre N de la série de Fourier de f .

Montrer que (S N (f )(0)) N∈ N diverge.

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