http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Juillet 08
( )
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique Résoudre l'équation suivante :
sin + sin 2 + sin 3 = 2 1 cos + + cos 2
Solution proposée par Frédéric Garcet
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
sin sin 2 sin 3 2 1 cos cos 2 sin sin 3 sin 2 2 1 cos 2 cos 2 sin 2 .cos sin 2 2 2 cos cos 2 cos sin 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 0 cos 2 cos 1 2 sin 2 0
1) cos 0 90 180
+ + = + +
+ + = + +
− + = +
+ − + =
+ − =
= → = ° +
2) cos 1 120 360
2
45 360 3) sin 2
135 360
2
°
= − → = ± ° + °
= ° + °
= → = ° + °
1 2 3
1 2 2 3
1 2
Dans un demi cercle de rayon , on trace trois cordes , et parallèles à la base rectiligne du demi cercle.
La distance entre et est égale à la distance entre et .
On mesure = 8 , =
31 2 3
16 et 20 . Quel est le rayon du demi cercle?
Déterminer les angles , et représentés sur la figure 1.
Donner vos réponses avec 4 chiffres après la virgule.
= α α α
Solution proposée par Frédéric Garcet
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
2 2
rect : cos 4 et 2 4
8 Système de trois équations
rect ' ' : cos et 8
à trois inconnues rect '' '' : cos 10 et 4
4 4 16 1
2 64 2
1
α = = + +
α = = + +
α = = +
= + + +
= + + +
= +
△
△
△
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
1 1
00 3
1 2 0 3 2 48 4
2 3 0 2 36 5
100
4 5 0 2 12 6 6
0 2 36
100
6
15 5 6 2 6 2
225 825 275 275
100 11.7260
6 6 6 2
4 4
cos 70.0548
11.726 co
− → = + −
→ − → = + −
= +
− → = − → = → =
→ = + −
= +
=
→ = =
= + = = → =
α = = → α = °
≃
2 2
3 3
8 8
s 43.9809
11.726
10 10
cos 31.4822
11.726
α = = → α = °
α = = → α = °
Le 2 juillet 08.
3 3 3 2
Montrer qu'un triangle est équilatéral quand on a :
, et sont les angles ; , et sont les côtés sin sin 3
4
+ − = + −
=
Solution proposée par Steve Tumson
3 3 3
2 2 2 3 3
2
2 2 3
On peut réécrire la première relation :
sin sin
Règle du sinus :
sin sin sin sin sin
On peut donc réécrire le terme de gauche de l'équation : sin
+ − = ⇔ + = +
+ −
= = ⇔ = =
+ =
2 3
2 2
2 2 2 2
2
sin
sin sin
Par identification, il faut :
sin 1
sin
sin 1
sin
Or on sait que sin sin 3 et on en déduit : 4
sin 3 60 60
2 Le triangle est donc bien équilatéral !
+
=
⇒ =
=
=
= ⇔ = = ° ⇒ = °
Le 23 juillet 08. (Relu par Benoit Baudelet)
!
Résoudre l'équation : cos + 3 sin = 1
Solution proposée par Steve Tumson
Classique :
cos 3 sin 1 cos tan sin 1 cos cos sin sin cos
3 3 3 3
cos cos
3 3
3 3 2
2 ou 2 2
3
+ = ⇔ + = ⇔ + =
⇔ − =
⇔ − = ± + ∀ ∈
⇔ = = + ∀ ∈
ℤ
ℤ
π π π π
π π
π π π
π π π
Le 23 juillet 08. (Relu par Benoit Baudelet)
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est vraie, ou faux si l'affirmation est fausse.
1)"Dans un triangle il y a toujours deux angles dont la somme est supérieure ou égale à 120
( )
4 4
°"
2)"L'expression cos sin change exactement 4 fois de signe dans l'intervalle < a < "
3)"L'équation suivante est une identité : cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin 2 "
4)"Si le triangle ABC
−
+ + =
π π
est rectangle en A, on a (sin + cos ) /(cos + sin ) = "
1) VRAI
En effet, on peut aussi écrire : "Dans un triangle il y a toujours un angle dont la valeur est inférieure ou égale à 60° ".
Or, dans le cas du triangle équilatéral, tous les angles valen
( )( )
( )( ) ( )
4 4 2 2 2 2
2 2
t 60°et si on augmente un angle, il y en aura d'office un des deux autres qui sera plus petit que 60° !
2) VRAI
cos sin cos sin cos sin
cos sin cos sin cos sin 0
cos sin 2 solutions
− = − +
= − + + =
= → ∈
⇒ [ ]
[ ]
[ ]
,
cos sin 2 solutions ,
4 solutions , 3) FAUX
cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos(2 )
4) VRAI
2 2 2
(sin cos ) /(
−
= − → ∈ −
⇒ ∈ −
+ − + = −
= + =
= ⇒ + = ⇔ = −
⇒ +
π π π π π π
α β α β
α β
π π π
sin cos cos sin ) 2
cos sin 2
sin sin 2sin
+ −
+ =
+ −
= + =
π
π
"
Un train de transport doit passer à travers un tunnel dont la section est un demi cercle de rayon (=5 mètres).
Le wagon du train a une longueur de 50 mètres, une hauteur de mètres et une largeur de l mètres.
Le train roule au milieu du tunnel et la hauteur du rail et des roues est de (=0,5 mètres).
On vous demande de trouver et tel que le volume du wagon qui passe encore de justesse dans le tunnel, est maximal.
1/ Faites un croquis de la section du tunnel et du train.
2/ Donnez les formules pour et et le volume en fonction d'un paramètre α que l'on optimisera.
3/ Dériv
3
ez (α) par rapport à α pour trouver l'extremum
4/ Calculez le volume optimal à 0,1 m près.
2) Si nous prenons le paramètre alpha comme l'angle polaire désignant la position de l'abscisse curviligne du coin du wagon touchant de justesse le tunnel, on écrit :
cos / 2 2 cos
sin si
α α
α
= ⇔ =
= + ⇔ =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
2
n
50 100 cos sin 50 sin 2 100 cos
3) On trouve un second degré en sinus alpha :
100 sin 100 cos 2 0 sin cos sin 0
sin 1 sin sin 0 2sin sin 1 0
8 si
α
α α α α
α α α α α
α
α α α α α
ρ
−
⇒ = = − ⇔ = −
= + = ⇔ + − =
⇔ + − − = ⇔ − + + =
= + ⇒
2
1 1
2 2
n 1 sin 0, 73 46,886
sin 4 8 sin 0, 68 Rejeté car 0 90
N.B : Comme on le sait tous, le plus grand rectangle (point de vue surface) inscriptible dans un cercle est
α α α
α α α
→ = °
= ± + ⇒
− → ≤ ≤ °
≃
≃
en fait un carré (donc en coordonnée polaire, notre alpha = 45°). La seule différence réside ici dans le fait qu'il faut tenir compte des rails et des roues, la longueur d ! Celle ci étant petite, il
( ) ( )
2 max
3 max
est naturel de retrouver un résultat proche de 45° ! 4) Il suffit de remplacer les valeurs :
( ) ( 46,886 ) 50 5 sin 93, 772 100 5 0, 5 cos 46,886
1076, 4
α = α= ° × × ° − × × × °
⇒
≃
≃
Le 23 juillet 08. (Relu par Benoit Baudelet)
# $ $ %
( ) ( )
Résoudre l'équation trigonométrique suivante :
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
2sin − 3cos = 3
Solution proposée par Fabienne ZOETARD
( ) ( ) ( )
2 sin cos 3 2 sin cos 1 3
Soit tan 2 où 0, 0.5880
3 2
sin sin cos cos cos cos cos cos cos
2 2 2 1.9655 2
2 2 2
− = → − =
π ϕ = ϕ∈ → ϕ =
→ ϕ − ϕ = ϕ → − + ϕ = ϕ → + ϕ = π − ϕ
+ ϕ = π − ϕ + π = π − ϕ + π = + π
→ + ϕ = −π + ϕ + π → = −π + π → = −π + π
Le 25 juillet 08.
& $ $ %
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Démontrer l'identité suivante :
cos sin
tan 2a 1
cos sin
cos 2
+ = +
−
Solution proposée par Fabienne ZOETARD
( )( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2
? ?
?
?
?
CE: sin cos et cos 2 0
1 cos sin sin 2 1 cos sin
tan 2
cos 2 cos sin cos 2 cos sin
2 sin cos 1 cos sin cos sin cos sin
cos sin 2 sin cos 1 cos sin cos sin 2 sin cos 1 cos sin 2 si
≠ ≠
+ + +
+ = → =
− −
+ +
→ =
−
−
→ − + = + −
→ + = + →
2 21
?
n cos 1 cos sin 2 sin cos 2 sin cos 1 1 2 sin cos OK
=
+ = + +
→ + = +
Le 25 juillet 08.
$ $ %
Dans un parallèlogramme, connaissant les mesures de deux côtés ( et ) et de l'angle qu'ils forment entre eux ( ), trouverles expressions des longueurs des diagonales et des angles formés par celles
α
ci, en fonction de , et .
Calculer ces valeurs pour un losange dont la mesure d'un côté vaut 8 m et celle d'un angle, 30°
α
! " #$ % &
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 cos Dans le triangle
2 cos 180 2 cos Dans le triangle
Et dans le triangle :
1 1 1 1
2. . cos
2 2 2 2
1 1 1
2 cos 2 cos 2
4 4 2
= + − α
= + − − α = + + α
= + − β
= + − α + + + α − + − cos . 2 2 2 cos .cos
1 2
α + + α β
→ 2 1
= 2 2 1
− 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2 cos . 2 cos .cos
cos
2 cos . 2 cos
Appliquons les formules trouvées
64 64 2 8 cos 30 128 64 3 17.1488 4.1411
64 64 2 8 cos 30 128 64 3 238.85 15.455
cos 0 ca
+ − α + + α β
→ β = −
+ − α + + α
= + − × × = − → =
= + + × × = + → =
β =
≃
≃
(
r =)
→ β =90 . Ce que nous savions.°' $ $ %
Un système motorisé se déplace, au ras du sol, en direction d'une tour de hauteur inconnue.
A une certaine distance de la tour, il voit le sommet de celle ci sous un angle par rapport à l'horizontale
α. Après avoir parcouru 10 m, il voit le sommet de la tour sous un angle double du premier.
Après avoir roulé 4 m de plus, il le voit sous un angle 3 . Déterminé la hauteur de la tour.
α
! " #$ % &
( (
)
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 3
2
2 2 2
2
0 90 tan 0
10 4 tan
4 tan 2 tan 3 Posons tan .
2 tan 2
On a : tan 2
1 tan 1
2
2 1
tan 2 tan 1 3
tan 3 tan 2
1 tan tan 2 1 . 2 1 2 1 3
1 Le système devient :
1
< α < ° → α ≠
= + + α
= + α
=
= α
α = α =
− α −
+ + −
α + α − −
α = α + α = = = =
− α α − − − −
−
= ( )
( )
( ) ( )
( )
2 3 2
4 14 1
4 2 14
1 . 3
1 3
+ = +
= + → +
−
= −
−
( 1 −
2) = ( 4 + ) 2 ( )
( )
2 14 + ( 1 3 −
2) = ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
