PanaMaths
[1 - 3]Août 2008
Pour tout réel a et tout entier naturel n non nul on pose : 1 cos cos 2 cos3 ... cos
sin sin 2 sin 3 ... sin
n n
C a a a na
S a a a na
= + + + + +
= + + + +
Calculer C
net S
n(on pourra poser S = C
n+ iS
n).
Analyse
Un calcul très classique. La suggestion permet de faire apparaître une somme de termes d’une suite géométrique. Mais … attention au cas particulier !
Résolution
Comme suggéré, nous posons : S =Cn+iSn. Il vient alors :
( )
( ) ( ) ( )
2
1 cos cos 2 ... cos sin sin 2 ... sin
1 cos sin cos 2 sin 2 ... cos sin
1 ...
n n
ia ia nia
S C iS
a a na i a a na
a i a a i a na i na
e e e
= +
= + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + +
Cette somme est une somme de n+1 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison eia qui peut être égale à 1.
On doit donc distinguer deux cas : Æ Si a=2kπ (k∈])
Dans ce cas, eia=1 et on a simplement : S =Cn+iSn = +1 eia+e2ia+ +... enia= +n 1. On en tire immédiatement :
1 0
n n
C n
S
= +
=
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[2 - 3]Août 2008
Æ Si a≠2kπ (k∈])
Dans ce cas, eia≠1 et on peut utiliser la formule classique :
{ }
2 1 1, \ 1 , 1 ...
1
n
n q
n q q q q
q
− +
∀ ∈ ∀ ∈ + + + + =
` ^ − On obtient ici :
( )
2 1
1 ...
1 1
n n
ia ia nia
n ia ia
S C iS
e e e
e e
+
= +
= + + + +
= −
−
Pour pouvoir facilement exprimer Cn et Sn, on fait apparaître des sinus au numérateur et au dénominateur en factorisant par les exponentielles d’argument moitié :
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 1
1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 2
2
2
1 ...
1 1
1 1
2 sin 1 2 2 sin
2 sin 1
2 sin2 sin 1
2 cos sin
2 2
sin2
n n
ia ia nia
n ia ia n ia
ia
n n n
ia ia ia
a a a
i i i
n ia
ia
nia
S C iS
e e e
e e e
e
e e e
e e e
e i n a
e i a
n a
a e
n a n n
a i a
a
+
+
+ + +
−
−
+
= +
= + + + +
= −
−
= −
−
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
+
=
+
=
+
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠
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[3 - 3]Août 2008
Il vient alors immédiatement :
( ) ( )
sin 1
2 cos
sin 2 2 sin 1
2 sin
sin 2 2
n
n
n a
C na
a
n a
S na
a +
=
+
=
Résultat final
Pour tout réel a et tout entier naturel n non nul, on a : Si a=2kπ (k∈])
1 cos cos 2 ... cos 1
Cn = + a+ a+ + na= +n et Sn =0 Si a≠2kπ (k∈])
(
1)
sin 2 cos
sin 2 2
n
n a n
C a
a +
= et
(
1)
sin 2 sin
sin 2 2
n
n a n
S a
a +
=
