A479. Quasi-équilatéraux parmi d'autres ***
On s'intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmétique.
Q1 Donner trois exemples de tels triangles non semblables entre eux.
Q2 Démontrer qu'il existe une infinité de triangles non semblables entre eux qui ont cette propriété.
Q3 Démontrer qu'il existe une suite de tels triangles dont les dimensions se rapprochent de plus en plus de celles d'un triangle équilatéral. En d'autres termes le rapport entre le plus grand côté et le plus petit côté tend vers 1 quand leurs dimensions tendent vers l'infini.
Idée…
Q1
Exemples … trouvés en résolvant la question suivante (Cf ci-après).:u= 11 et v= 13 -> r ~ 32.20422750397203°
t= 4 et s= 13
Angles : 27.795772496027972° 60° et 92.20422750397202°
=> côtés a=91 b=169 et c=195
u= 23 et v= 26 -> r ~ 27.795772496027976°
t= 7 et s= 26
Angles : 32.20422750397202° 60° et 87.79577249602798°
=> côtés a=416 b=676 et c=780
u= 13 et v= 14 -> r ~ 21.78678929826181°
t= 3 et s= 14
Angles : 38.21321070173819° 60° et 81.78678929826181°
=> côtés a=140 b=196 et c=224
Q2
Soient a, b et c les longueurs entières des côtés du triangle.
Soient A, B et C les trois angles du triangle en ordre croissant.
Nous avons la relation avec R rayon du cercle circonscrit :
C R c B b A
a 2
sin sin
sin
(*)
La condition de la progression arithmétique sur les angles implique que : (B-r) + B + (B+r)=180°
Donc que B=60°.
Ensuite
A + (A+r) + (A+2*r) = 180 implique que 3*A +3*r =180°.
A + r = 60°.
r<60° et r>0.
A=60 - r ; B = 60 ; C = 60 + r
Avec la formule sin(p+q)=sin p * cos q + sin q * cos p ET les valeurs :
cos 60 = 0.5 ;
2
60 3
sin
(*) mène à :
r sin r cos 3
c 2 3
b 2 r sin r cos 3
a 2
r sin r cos 3
c 3
b r sin r cos 3
a
(**)
Finalement
3
) r sin r cos 3 (
a b
ET
3
) sin cos 3
( r r
c b
b étant entier, il faut que les nombres
3 ) r sin r cos 3 et ( 3
) r sin r cos 3
(
soient entiers ou… rationnels. S’ils sont rationnels, faire une similitude ensuite.
Exemple avec p, q, m et n entiers. a = b *(p/q) et c = b*(m/n) on prendra b = b*q*n ; puis a = b*p*n et enfin c = b*m*q.
Nous avons r = 0°, cela donne le triangle équilatéral a=b=c, non autorisé ICI.
Nous avons r = 60°, cela donne le triangle réduit à un point, non autorisé ICI. Pour un même x, nous devons trouver une image rationnelle pour les deux fonctions.
et entiers q et p1 av ec
Posons
q 1 3p r sin r cos
3
q 3 m r sin r cos
3
1
soit encore à un facteur 3 près et avec p=3p1 et m=3m1
q r p sin 3 r cos
3
et
n r m sin 3 r cos
3
6 cos r = p/q + m/n et donc
cos r doit être rationnel
.
rationnel.
être aussi doit r sin 3
2
Il faut trouver t, s, m et n entiers tels que
s 3 r t sin
et
v
r u cos
.
On aura alors 3 t²/s² + u²/v² = 1 soit 3 t² v² + u² s² = v² s² qui donne
3 t² v² = s² (v² - u²)
Equation qui a une infinité de solutions facilitées quand on pose s=v
3(tv)² = v4 – (vu)² soit 3t² = v² - u² OU
3t² + u² = v²
.
ET
Av ec
v r u s cos
3 r t
sin
(***)
Si b est le côté opposé à l’angle de 60° , la relation (**) donne :
a =
3 b
*
s ) 3 t v 3 u
(
= b( u/v - t/s) a = b( u/v - t/s)
c = b( u/v + t/s)
Il faut que t<s que u<v et u*s > t*v
En multipliant les longueurs des côtés par v*s on aura des valeurs entières.
Il suffit de prendre b =v * s.
Les solutions seront : a = u*s - t*v et b = v*s et
c = u*s + t*v
On calcule l’angle r avec la relation
(***)
.Et les angles en degrés sont donnés par 60-r ; 60 et 60+r Exemples :
les valeurs des angles sont arrondies et calculées (sur machine) avec le résultat
v r u cos
.
u= 11 et v= 13 -> r ~ 32.20422750397203°
t= 4 et s= 13
Angles : 27.795772496027972° 60° et 92.20422750397202°
=> côtés a=91 b=169 et c=195
u= 23 et v= 26 -> r ~ 27.795772496027976°
t= 7 et s= 26
Angles : 32.20422750397202° 60° et 87.79577249602798°
=> côtés a=416 b=676 et c=780
u= 13 et v= 14 -> r ~ 21.78678929826181°
t= 3 et s= 14
Angles : 38.21321070173819° 60° et 81.78678929826181°
=> côtés a=140 b=196 et c=224
u= 59 et v= 62 -> r ~ 17.896551129254156°
t= 11 et s= 62
Angles : 42.103448870745844° 60° et 77.89655112925416°
=> côtés a=2976 b=3844 et c=4340
u= 47 et v= 49 -> r ~ 16.426421403476382°
t= 8 et s= 49
Angles : 43.57357859652362° 60° et 76.42642140347638°
=> côtés a=1911 b=2401 et c=2695
u= 83 et v= 86 -> r ~ 15.178178937949871°
t= 13 et s= 86
Angles : 44.82182106205013° 60° et 75.17817893794987°
=> côtés a=6020 b=7396 et c=8256 u= 74 et v= 76 -> r ~ 13.17355110725891°
t= 5 et s= 38
Angles : 46.82644889274109° 60° et 73.17355110725892°
=> côtés a=2432 b=2888 et c=3192
Q3
Logiquement on note que plus, u et v sont proches
plus, le cosinus de l’angle r se rapproche de 1, et
plus, l’angle r est petit et plus on se rapproche du triangle équilatéral : les trois angles étant proches de plus en plus proches de 60°.
u et v sont très proches, cos(r) tend vers1 et 0
v ers tend r
sin s
3
t
t es tnon nul, sinon on aurait un triangle aplati.
alors comme la plus petite valeur de t entier est 1, pour que t tende vers 0, il faut que s tende vers l’infini.
Cela implique que l’entier s doit tendre vers l’infini car t entier est au moins égal à 1.
Ceci est vérifié également par la condition : 3 t² v² = s² (v² - u²)
Et,
la longueur a tend vers u*s – t*u = u(s-t) qui tend vers u*s la longueur c tend vers u*s + t*u = s(t+s) qui tend vers u*s la longueur b tend vers u*s
Les trois longueurs croissent donc vers l’infini et le triangle devient quasi équilatéral.
