A479. Quasi-équilatéraux parmi d'autres
On s'intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmétique.
Q1 Donner trois exemples de tels triangles non semblables entre eux.
Q2 Démontrer qu'il existe une infinité de triangles non semblables entre eux qui ont cette propriété.
Q3 Démontrer qu'il existe une suite de tels triangles dont les dimensions se rapprochent de plus en plus de celles d'un triangle équilatéral. En d'autres termes le rapport entre le plus grand côté et le plus petit côté tend vers 1 quand leurs dimensions tendent vers l'infini.
Solution de Paul Voyer
Les angles formant une progression arithmétique, les triangles concernés ont un angle de 60 ° (et un seul).
Q1
Si a et b sont les côtés de l'angle 60°, on a la relation : c² = a²+b²-2ab cos60° = a²+b²-ab,
avec b<c<a, triangles non semblables si pgcd(a,b,c) = 1.
4c² = (a+b)²+3(a-b)² a, b, c :
8, 3, 7 4*7² = 196 = 11²+3*5² = 121+75 8, 5, 7 4*7² = 196 = 13²+3*3² = 169+27 15, 7, 13 4*13² = 676 = 22²+3*8² = 484+192 15, 8, 13 4*13² = 676 = 23²+3*7² = 529+147 21, 5, 19 4*19² = 1444 = 26²+3*16² = 676+768 21, 16, 19 4*19² = 1444 = 37²+3*5² = 1369+75 35, 11, 31 4*31² = 3844 = 46²+3*24² = 2113+1728 35, 24, 31 4*31² = 3844 = 59²+3*11² = 3481+363 48, 13, 43 4*43² = 7396 = 61²+3*35² = 3721+3675 48, 35, 43 4*43² = 7396 = 83²+3*13² = 6889+501 65, 9, 61 4*61² = 14884 = 74²+3*56² = 5476+9408 65, 56, 61 4*31² = 14884 = 121²+3*9² = 14641+243
L'examen des premières solutions met en évidence deux solutions pour chaque valeur de a.
(évident graphiquement)
Q2
Si on pose c =a-k, l'équation s'écrit : a²-2ak+k²=a²+b²-ab, soit a(b-2k)=b²-k²
b k
k k b
a 2
² 2 3
3k²/(b-2k) entier b-2k = d, diviseur de 3k², dq = 3k².
L'équation peut s'écrire comme le système : a = b+2k+q = d+q+4k
b = d+2k c = d+q+3k avec dq = 3k²,
que l'on peut construire pour toute valeur de k avec plusieurs valeurs de d et q.
(On retrouve bien 2 solutions en b, à a et c donnés, par permutation de d et q).
Q3
Si on se borne, dans les équations précédentes, à d=3k² et q=1,la sous-suite des triangles est définie par :
a = 3k²+1+4k =
² 3
1 3 1 4
²
3k k k
b = 3k²+2k =
k k
3 1 2
² 3
c = 3k²+1+3k =
² 3
1 1 1
²
3k k k
Lorsque k croît indéfiniment, b/a tend vers 1, la forme du triangle, (a,b,c) se rapproche de celle d'un triangle équilatéral.
