A479 – Quasi équilatéraux parmi d'autres [*** à la main et avec l'aide éventuelle d'un automate]
On s'intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmétique.
Q₁ Donner trois exemples de tels triangles non semblables entre eux.
Q₂ Démontrer qu'il existe une infinité de triangles non semblables entre eux qui ont cette propriété.
Q₃ Démontrer qu'il existe une suite de tels triangles dont les dimensions se rapprochent de plus en plus de celles d'un triangle équilatéral. En d'autres termes le rapport entre le plus grand côté et le plus petit côté tend vers 1 quand leurs dimensions tendent vers l'infini.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q1 L'angle médian de ces triangles vaut nécessairement 60°, les deux autres valent alors 60° ‒ α et 60° + α.
Soient a,b et c les dimensions des côtés du triangl avec b < a < c . La loi des sinus donne a/sin(60°) = b/sin(60° ‒ α) = c:sin(60 + α)
On en déduit cos(α) = (b + c)/2a et sin(α) = (c ‒ b)√3/2a.
D'où l'équation diophantienne (E) : a² = b² + c² ‒ bc
On obtient aisément à l'aide d'un petit programme ou d'un tableur les triangles suivants de petites dimensions:
On vérfifie avec Geogebra que l'angle en A opposé au côté a vaut bien 60° dans tous ces triangles et que les trois angles forment une progression arithmétique
Q₂
En posant x = c ‒ b et y = b + c , l'équation (E) devient 4a² = 3x² + y²
On a une première famille de triangles non semblables entre eux avec x = n(3n+2) (voir
http://oeis.org/A045944 Rhombic matchstick numbers) et y=3n² + 6n + 2 (voir http://oeis.org/A080663) , ce qui donne:
b = 2n+1,
c = 3n² + 4n + 1 (voir http://oeis.org/A000567 Octagonal numbers: n*(3*n-2). Also called star numbers) a = 3n² + 3n + 1 (voir : http://oeis.org/A003215 Hex (or centered hexagonal) numbers: 3*n*(n+1)+1 (crystal ball sequence for hexagonal lattice))
On a une deuxième famille de triangles non semblables entre eux avec b = 2n + 1, c = n² + 2n (voir
http://oeis.org/A005563) et a = n² ‒ n + 1 (voir http://oeis.org/A002061 Central polygonal numbers: n^2 - n + 1)
Q₃
Une troisième famille permet d'identifier les triangles quasi-équilatéraux
Les côtés a,b et c ont pour dimensions a = 12n² + 6n + 1, b = 12n² + 4n et c = 12n² + 8n + 1 et l'on vérifie aisément que a² = b² + c² ‒ bc et c/b tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
