D627 – Plus court plus long [**** à la main]
Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin
Dans un triangle non isocèle, la hauteur, la bissectrice intérieure et la médiane issues d’un même sommet se classent dans cet ordre par longueur croissante.
Q₁ Existe-t-il un triangle dont la plus courte médiane est plus longue que la plus longue bissectrice ? Q₂ Existe-t-il un triangle dont la plus courte médiane est plus longue que la plus longue hauteur ? Q₃ Existe-t-il un triangle dont la plus courte bissectrice est plus longue que la plus longue hauteur?
Pour les plus courageux: dans chacune des trois questions,si le triangle existe,construire un triangle dont les côtés ont des longueurs entières.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Réponse: non
Soient a = BC, b = CA et c = AB les côtés du triangle ABC tels que, sans perte de généralité, a ≤ b ≤ c.
Le pied de la plus longue bissectrice est sur le plus petit côté. Soit AD cette bissectrice.
Le pied de la plus courte médiane est sur le plus long côté. Soit CM cette médiane.
1er cas: l'angle ACB est obtus ou droit. Alors AD > AC. Comme BC ≤ AC, CMA n'est pas aigu. Donc CM ≤ AC et CM < AD.
2ème cas: l'angle ACB est aigu. Comme AB est le plus grand côté, ACB ≥ 60° et les angles BAC et
ABC sont aigus.Dès lors le pied H de la hauteur issue de A repose sur le côté BC.
D'où AD ≥ AH ≥ AC.cos(60°) = b 3/2. Or CM² = (2a² + 2b² ‒ c²)/4 ≤ (2a² + b²)/4 ≤ 3b²/4.
Donc CM ≤ b 3/2 et la médiane CM ne peut pas être plus grande que la bissectrice AD.
Q₂
Réponse: oui
On désigne par a = BC, b = CA et c = AB les côtés d’un triangle ABC.
La plus petite des médianes joint le sommet opposé au plus grand côté au milieu de ce côté. C'est donc AM.
D'après la formule de Héron, l'aire S du triangle est égale à p(pa)(pb)(pc) avec p = (a + b + c )/2.
D'où S = 4
143
65 et la hauteur CH = 2S/c = 2 143 5 .
La longueur m de la médiane AM est donnée par la formule m =
2 a 2c 2b2 2 2
= 2 146 5 . On obtient bien l'inégalité AM > CH.
Q₃
Réponse: non
On désigne par a = BC, b = CA et c = AB les côtés du triangle ABC tels que, sans perte de généralité, a ≤ b ≤ c et par S son aire.
Le pied de la plus courte bissectrice est sur le plus grand côté. Soit d = CD cette bissectrice.
Le pied de la plus longue hauteur est sur le plus petit côté. Soit h = AH cette hauteur.
On a d'une part (a + b).d.sin(ACB / 2) = 2S = a.b.sin(ACB). d'où d = 2.a.b.cos(ACB / 2) /(a + b).
D'autre part h = b.sin(ACB).
Comme a + b ≥ 2a et ACB ≥ 60°, h /d = (a + b).sin(ACB / 2) / a ≥ 1
Soit un triangle ABC dont les longueurs des côtés sont respectivement a = 84, b = 72 et c= 13.
On vérifie que b + c > a.
Comme le pied de la plus longue hauteur d’un triangle est situé sur le plus petit côté, la plus grande hauteur est issue de C et rencontre la droite BA en un point H.
