Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC

D1855 ‒ Une affaire d'angles [**à la main]

Problème proposé par Jean-Louis Aymé

Soient ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°,(O) le cercle circonscrit à ABC,F le point de [AB] tel que ACF = 30°, (U) le cercle tangent à (O) en C, passant par F, E le second point d’intersection de (U) avec (CA).

Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.

Solution proposée par Bernard Vignes

Soit U le centre du cercle tangent en C au cercle (O) circonscrit au triangle ABC. Ce point est à l'intersection de la médiatrice de CF avec le diamètre BC du cercle (O).

On a la relation d'angles :

EUF = 2CEF =2ACF = 60°.

Le triangle EFU est donc équilatéral et EFU = 60°.

Par ailleurs,CUE = 2CFE = 2(EFU − CFU) Or CFU = FCU = 90°− 20° − 30° = 40°

Donc CUE = 40° et BUF = 180° − CUE − EUF = 80°

Enfin BFU = 180° − AFC − CFU = 180° − 60° − 40° = 80°.

Le triangle BFU est isocèle et BE est la médiatrice de FU, donc la bissectrice intérieure de l'angle BAC.