IV - Bissectrice d'un angle
Définition
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Exemple : Construis la bissectrice de l'angle MON avec un rapporteur.
Pour construire la bissectrice de l'angle MON, on commence par le mesurer à l'aide du rapporteur. Il mesure 58°.
On prend la moitié de cette mesure, ce qui donne 29°, et on trace un trait-repère.
On trace la demi-droite d'origine O passant par ce trait-repère.
Cette demi-droite est la bissectrice de l'angle MON.
1 Nomme les angles marqués sur la figure ci-contre.
2 Construis un losange BLEU de 5 cm de côté. Marque en vert l'angle UBL et en bleu l'angle UEB .
3 Donne la nature de chaque angle.
4 Mesure l'angle
x
Oy
ci-dessous.5 Construis un angle SAT de mesure 85°.
6 Dans chaque cas, indique si la droite rouge est la bissectrice de l'angle. Sinon, justifie pourquoi elle ne l'est pas.
a.
b.
c.
d.
O
B S
L
x
y t
Bissec trice de l'angle
N O M
32°
31°
15°
15°
O
y x
222
Nommer un angle
1
Recopie et complète le tableau ci-dessous.Angle vert orange bleu
Nom Sommet
Côtés ... et ...
2
Reproduis une figure analogue à celle-ci.a. Code en bleu l'angle OME.
b. Code en rouge l'angle MOE.
c. Code en vert l'angle OUE.
d. Nomme les angles dont le sommet est L et un côté est [LU).
e. Nomme les angles dont le sommet est O et un côté est [OL).
3
Sur la figure ci-dessous, les points T, A et I sont alignés ainsi que les points P, A et R.a. Pour chacun des angles colorés, donne toutes les façons différentes de le nommer.
b. Nomme tous les angles ayant pour sommet I.
Donner la nature d'un angle
4
Parmi les angles numérotés ci-dessous, quels sont les angles aigus, obtus et droits ?5
En utilisant ton équerre, donne la nature de chacun des angles.6
Donne la nature de chacun des angles.7
Donne la nature de chacun des angles.ABC FED HIJ KLM OPS XVZ
80° 13,5° 180° 98,4° 89,5° 105°
8
Avec un logiciel de géométrie dynamique Trace un triangle ABC ;Marque chaque angle de ce triangle ; Fais afficher la mesure de chaque angle ; En bougeant les points, trace un triangle ABC ayant un angle obtus.
Peux-tu tracer un triangle à deux angles obtus ? A
r
s
Ow
z
P
H I
u v
G
M O
L U
E
I T P
A
S R
A
x
y
L P
T C
z
O
Mesurer un angle
(gabarit)9
Comparer avec un gabarita. Reproduis l'angle
x
Oy
ci-dessous sur du papier calque.b. À l'aide du gabarit ainsi réalisé, indique si les angles ci-dessous ont une mesure inférieure, supérieure ou égale à celle de l'angle
x
Oy
.c. Un de ces angles a une mesure double de celle du gabarit et un autre a une mesure triple de celle du gabarit. Trouve ces angles.
10
Voici deux gabarits d'angle.Reproduis chacun d'eux sur du papier calque.
Construis un angle qui mesure : a. le double de l'angle
x
By
;b. le triple de l'angle
t
Au
;c. la somme des angles
x
By
ett
Au
; d. la différence des anglesx
By
ett
Au
.e. Donne la nature de chacun des angles obtenus.
Mesurer un angle
(rapporteur)11
Pour chaque angle, indique s'il est aigu ou obtus. Lis ensuite sa mesure sur le rapporteur gradué tous les 10°.a. b.
c. d.
12
Amandine a mesuré les angles ci-dessous. Explique pourquoi elle s'est sûrement trompée.13
Lis la mesure des angles BAC et MON.a.
b.
x
B
y t
A
u
90° 90°
90° 90°
O A
C
H B
135°
K P
103°
45°
x
O
y
P
R S
u s
A
r t
C B F E J
K
M
v
w
L
224
14
Détermine la mesure des angles : a.x
HG ; b.x
HF ; c.y
HF ; d. FHG.15
Mesure chaque angle avec ton rapporteur.16
Soit un triangle MIR tel que : MI 12 cm, IR 10,6 cm et MR 6 cm.a. Construis ce triangle.
b. Mesure chaque angle de ce triangle.
17
Soit un triangle ISO isocèle en S tel que : IO 7 cm et IS 8,5 cm.a. Construis ce triangle.
b. Mesure les angles SIO et SOI . Que remarques-tu ?
Construire un angle
18
Reproduis les figures de l'exercice15
en utilisant uniquement ta règle et ton compas.19
Construis chacun des angles : MOT 27° ; FIz
47° ;x
Vy
151° et PRE 110°.20
Construis ces figures en vraie grandeur en utilisant tes instruments de géométrie.a.
b.
21
Même consigne qu'à l'exercice 20.a. b.
c.
22
Même consigne qu'à l'exercice 20.b.
R
5,5 cm 7,3 130°
cm V
E
P A I
P
D
35° 22°
4,1 cm 5,5 cm 9,4 cm
S
M
65° S
30°
7 cm 8 cm
6,5 cm Y
N
L
5,5 cm 4,2 E cm O
P U
143° 59°
G
H F
64°
5,3 cm 93°
I J
L K D
112°
R
124°
4,4 cm 4 cm
5,6 cm A
I N
T M O
P
S R
I U
23
Même consigne qu'à l'exercice 20 .24
Écris un programme de construction de cette figure puis construis-la en vraie grandeur.25
Même consigne qu'à l'exercice 24 .26
Programme à suivrea. Construis un triangle ABC tel que : AC 6,3 cm ; ACB 60° et BC 7,9 cm.
b. Place le point D sur [AB] tel que BCD 20°.
c. Place le point E sur [AD] tel que DCE 30°.
d. Mesure les longueurs des segments [AE], [ED] et [DB] puis range-les dans l'ordre croissant.
27
Figure à construirea. Construis un triangle ACD tel que : DC 6 cm ; CDA 67° et DCA 36°.
b. À l'extérieur du triangle ADC, construis le point B tel que CAB 58° et AB 8,2 cm.
Puis trace le segment [BC].
c. Quelle est la nature des angles DAB , DCB et ABC?
Calculer des mesures
d'angles
28
Les points B, A et C sont alignés.Calcule, en détaillant, la mesure des angles : a.
u
Av
; b. B Av
; c.u
AC.29
Sur la figure ci-dessous, les points O, A et L sont alignés.a. Quelle est la mesure et la nature de l'angle OGA ? Justifie.
b. Quelle est la mesure et la nature de l'angle GAL? Justifie.
30
Voici une figure construite par Joséphine.Quelle est la mesure de l'angle DOE ? Explique ta réponse.
31
Dans la figure ci-dessous faite à main levée, on donne : LIS 44,5°.Les points F, I et L sont-ils alignés ? Justifie.
B A
L 33°
4 cm 125°
x y
u v
B A C
87° 42°
L T H
E
20°
9 cm
60°
A
O E
A B
C
D
2 cm 45°
55°
L A
G 23°
45°
O
F I L
T S
226
40 Dans ce « triangle impossible » de Penrose, les angles aigus mesurent 60° et les angles obtus 120°. Reproduis-en un.
41 On attend l'arrivée d'une régate de voiliers sur une côte normande.
Le gagnant sera celui qui franchira le premier la ligne droite entre les deux bouées O et E.
Près des bouées, deux observateurs en bateau repèrent au même instant la position des voiliers en mesurant les angles comme indiqué ci-dessous. Voici ce qu'ils ont noté à 11 h 45 :
Voilier V1 V2 V3 V4 V5
angle ô 47° 74° 86° 56° 43°
angle ê 63° 55° 34° 68° 75°
a. Trace en haut de ta feuille un segment [OE]
de longueur 12 cm puis construis, pour chaque voilier, les angles ô et ê indiquant leur position.
b. Classe ces voiliers du plus proche au plus loin de l'arrivée.
42 Polygones réguliers
a. Trace le pentagone régulier BCDEF en suivant le programme de construction :
trace un cercle de centre A et de rayon 5 cm ; construis dans cet ordre les points B, C, D, E et F du cercle tels que :
BAC CAD DAE EAF FAB 72°.
b. Quelle mesure d'angle choisirais-tu pour construire un hexagone régulier ? Un octogone régulier ? Un décagone régulier ?
43 On considère la figure suivante où R est le centre du cercle.
a. Reproduis cette figure en vraie grandeur.
b. Mesure puis donne la nature des angles : AMN et INM.
44 Alex prépare un exposé sur la constellation d'Orion. Il l'observe donc au télescope et réalise quelques mesures qu'il reporte à main levée ci-dessous.
Aide Alex à reproduire correctement la constellation d'Orion.
45 Diagonale et bissectrice
a. Construis un rectangle ABCD tel que : AB 7 cm et BAC 38°.
b. La diagonale [AC] est-elle la bissectrice de l'angle BAD ? Justifie.
c. Sinon, construis la bissectrice de BAD.
d. Reprends les questions a., b. et c. avec BAC 45°. Que penser alors du rectangle ABCD ?
2,3 cm 1,4
cm 130°
165°
2,3 cm
1 cm 125°
127°
2 cm 75°
70°
1 cm 1,5
cm
1,6 cm 140°
145°
2,1 cm
2 cm 72°
72°
0,7 cm I
M A
N
T R
73°
66°
54°
109°
5 cm
E ê ô
O
V
46 Calculs d'angles
a. Calcule, en détaillant, la mesure des angles :
u
AB ,y
Av
ety
AB.b. Que peux-tu dire des droites (
xy
) et (zt
) ? Justifie ta réponse.c. Reproduis la figure en prenant AB 8,5 cm et en respectant la mesure des angles.
d. Vérifie sur ta figure la cohérence des résultats obtenus à la question a..
47 Alignés ou pas ?
a. Trace un triangle MNO rectangle en N tel que MN 8 cm et NO 6 cm.
b. À l'extérieur de ce triangle, place le point K tel que le triangle NKO soit isocèle en K et tel que ONK NOK 31°.
c. À l'extérieur du triangle MNO, place le point A tel que NA 5 cm et MNA 58°.
d. Les points K, N et A sont-ils alignés ? Justifie.
48 Rentrant et saillant
Un angle rentrant est un angle dont la mesure est supérieure à 180°.
Sur un logiciel de géométrie dynamique, on peut voir ceci pour la même figure.
a. Quelle est la mesure de l'angle rentrant ? Comment obtenir cette mesure à partir de TOM ? b. Reproduis puis complète le tableau suivant.
Angle saillant 60° 78°
Angle rentrant 200° 335° 303°
c. Trace des angles de mesure 300°, 195° et 314°.
49 Triangle d'or et sa spirale
Pour réussir une belle spirale, il faut être très précis et faire des tracés fins.
a. Trace un triangle ABC isocèle en A tel que : BC 8 cm et ABC 72°.
b. Trace les bissectrices :
[C
x
) de l'angle ACB, elle coupe [AB] en D ; [By
) de l'angle DBC, elle coupe [CD] en E ; [Dz
) de l'angle EDB, elle coupe [BE] en F ; [Et
) de l'angle FED, elle coupe [DF] en G ; [Fw) de l'angle EFG, elle coupe [EG] en H.c. Trace les arcs de cercle : de centre D ;
de centre E ; de centre F ;
de centre G ; de centre H.
50 Dans les étoiles
a. Construis un cercle de centre O et de rayon 6 cm.
b. Construis deux diamètres [AB] et [CD]
perpendiculaires.
c. Trace les bissectrices des angles droits AOC, COB, BOD et DOA. Elles coupent le cercle respectivement en E, F, G et H.
d. Trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm.
e. Trace les bissectrices des angles :
AOE, EOC, COF, FOB, BOG, GOD, DOA et AOH.
Elles coupent le petit cercle respectivement en I, J, K, L, M, N, P et R.
f. Trace le polygone AIEJCKFLBMGNDPHR.
Colorie la figure obtenue.
A B
D
x
y
z
t u
v
B A 30°
120°
AC) BC) BD)
DE) EF)
TOM ABC
B C
A
