D10166. Angle en puissance
Un triangle ABC rectangle en C est inscrit dans un cercle. Soit K le milieu de l’arc BC qui ne contient pasA,N le milieu du segmentAC et M le deuxi`eme point d’intersection de KN avec le cercle. Les tangentes au cercle en AetC se coupent enE.
Que peut-on dire de l’angle EM K?
Faites appel `a toute la puissance de votre raisonnement ! Solution
On rappelle que la puissance d’un point P par rapport `a un cercle s’ob- tient par le produit des longueurs P Q et P R en d´esignant par Q et R les points d’intersection avec le cercle d’une droite quelconque passant par P et s´ecante au cercle. Ce produit est en effet ind´ependant de la droite s´ecante choisie. R´eciproquement si deux droitesQRetST se coupent enP et que l’on a (en valeur alg´ebrique, chaque droite ayant son orientation) : P Q·P R=P S·P T alors les 4 points Q,R,S et T sont cocycliques.
Venons-en au probl`eme pos´e : Soit O le centre du cercle. Les 4 points A, E, C et O sont cocycliques (cercle de diam`etre EO) et l’on peut donc
´ecrire pour la puissance du point N situ´e `a l’intersection des cordes AC etEO :N A·N C =N E·N O. De mˆeme A, M,C etK sont cocycliques avecN `a l’intersection des cordesM KetAC :N A·N C =N M·N K. On d´eduit alorsN E·N O=N M·N K ce qui montre queE,M,O etK sont cocycliques. Et comme EOK est droit (car OE et OK sont toutes deux m´ediatrices des deux cordes perpendiculaires entre ellesAC etCB) alors EM K l’est aussi.
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