Brevet Blanc de Mathématiques - Février 2018
La calculatrice est autorisée.
La présentation, l'orthographe et la rédaction seront prises en compte dans la notation.
(sur 10 points)
Tous les exercices sont indépendants.
Exercice 1 (/8) Centres étrangers 2017
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Affirmation 1 :
Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d’un mur à 1 mètre au-dessus du sol pour construire une étagère ABC :
AB = 65 cm; AC = 72 cm et BC = 97 cm
Il réfléchit quelques minutes et assure que l’étagère a un angle droit.
Dans le triangle ABC, on a :
BC² = 97² AB² + AC² = 65² + 72² = 9 409 AB² + AC² = 4 225 + 5 184 AB² + AC² = 9 409
Comme BC² = AB² + AC², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
L’affirmation 1 est donc vraie.
Affirmation 2 :
Les normes de construction imposent que la pente d’un toit représentée ici par l’angle CAH doit avoir une mesure comprise entre 30° et 35°.
Une coupe du toit est représentée ci-contre:
AC = 6m et AH = 5m. H est le milieu de [AB].
Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.
Dans le triangle CAH, rectangle en H, on a : Cos(CÂH) = c’est-à-dire Cos(CÂH) = .
La calculatrice nous donne CÂH = 33,6° valeur arrondie au dixième.
L’affirmation 2 est donc vraie.
Exercice 2 (/12) Asie 2017
On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur.
Les points A, B et E sont alignés ainsi que les points C, B et D.
1. Pour les cas 1 et 2 suivants, indiquer sur la copie la réponse qui correspond à la longueur du segment [AB] parmi les réponses proposées.
Aucune justification n’est attendue.
2. Pour le cas 3 uniquement, justifier la réponse sur la copie en rédigeant.
Les points A, B , E et C, B , D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AC) et (DE) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AE) (Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles ).
D’après le théorème de Thalès, on a :
= =
En remplaçant par les données de l’énoncé, on obtient :
7 = =8 5
En choisissant l’égalité
=
, on en déduit que BA = × = 11,2.Le segment [AB] mesure 11,2 cm.
Exercice 3 (/12) Métropole septembre 2017
Un sac opaque contient 120 boules toutes indiscernables au toucher, dont 30 sont bleues. Les autres boules sont rouges ou vertes.
On considère l’expérience aléatoire suivante :
On tire une boule au hasard, on regarde sa couleur, on repose la boule dans le sac et on mélange.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue? Écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Il y a 30 boules bleues sur 120 boules : la probabilité est donc égale à
=
.La probabilité de tirer une boule bleue est de .
2. Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n’est demandée) :
a. 48 b. 70 c. On ne peut pas savoir d. 25
3. La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4.
a. Quel est le nombre de boules rouges dans le sac?
Notons n le nombre de boules rouges dans le sac. La probabilité de tirer une boule rouge est donc :
p
= =
0,4On en déduit que n = 120 × 0,4 = 48.
Il y a donc 48 boules rouges dans le sac.
b. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte?
Dans ce sac qui contient 120 boules, 48 sont rouges et 30 sont bleues. Le nombre de boules vertes est donc 120 – 48 – 30 = 42.
Il y a donc 42 boules vertes dans le sac.
La probabilité de tirer une boule verte est alors
=
0,35.Exercice 4 (/8) Adapté de Nouvelle-Calédonie décembre 2016
Dans un jeu vidéo, pour gagner des points d’expérience et faire évoluer son personnage, il faut participer à des combats.
Chaque victoire rapporte 60 points. Pour chaque défaite, on perd 10 points.
1. Gabriel a déjà accumulé 21 victoires et 9 défaites. Combien de points a-t-il ?
Gabriel a 21 × 60 – 9 × 10 = 1 260 – 90 = 1 170 points.
2.Son frère Nathaniel a obtenu 14 défaites et a totalisé 940 points. Combien de victoires a-t-il remportées ? Notons x le nombre de victoires de Nathaniel.
Le nombre de points gagnés pour ses x victoires est 60x.
Le nombre de points perdus pour ses 14 défaites est 140.
Il a donc au total 60x – 140 points soit 940 d’après l’énoncé.
L’équation à résoudre est 60x – 140 = 940.
60x – 140 = 940 60x – 140 + 140 = 940 + 140 60x = 1080
x = x = 18
Nathaniel a remporté 18 victoires.
Exercice 5 (/12) Adapté de Centres étrangers 2017 Voici les dimensions de trois solides :
• Une pyramide de 6 dm de hauteur dont la base est un rectangle de 6 dm de longueur et de 3 dm de largeur.
• Un cylindre de 2 dm de rayon et de 3 dm de hauteur.
• Un cône de 3 dm de rayon et de 3 dm de hauteur.
1. a. Représenter en perspective cavalière les trois solides.
b. Placer les dimensions données sur les représentations.
2. Calculer leur volume puis classer ces trois solides dans l’ordre croissant de leur volume.
Volume de la pyramide : V1 = × = × × = 36 dm3.
Volume du cylindre : V2 = Base × Hauteur = π × 22 × 3 = 12 π ≅ 37,7 dm3.
Volume du cône : V3 = × = ! × ² × = 9 π ≅ 28,2 dm3.
L’ordre croissant des volumes de ces solides est donc : Cône ; Pyramide ; Cylindre.
3. Convertir en litres puis en m³.
Sachant que 1 dm3 = 1 litre et 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 litres, on en déduit que : V1 = 36 dm3 = 36 litres = 0,036 m3 . V2 ≅ 37,7 dm3 = 37,7 litres = 0,0377 m3. V3 ≅ 28,2 dm3 = 28,2 litres = 0,0282 m3.
Exercice 6 (/8) Extrait de Métropole 2017
1. Lors des Jeux Olympiques de Rio en 2016, la danoise Pernille Blume a remporté le 50 m nage libre en 24,07 secondes. Calculer sa vitesse en mètre par seconde arrondie au centième.
Comme v = # , on en déduit que v = , ≅ 2,08.
Sa vitesse est v = 2,08 m/s.
A-t-elle nagé plus rapidement qu’une personne qui se déplace en marchant vite, c’est-à-dire à 6 km/h?
Cette personne parcourt 6 km = 6 000 m en 1 heure soit 3 600 s. Sa vitesse est donc v = ≅ 1,67.
Cette personne se déplaçant à une vitesse de 1,67 m/s, on en déduit que la nageuse plus rapidement.
2. La distance d de freinage d’un véhicule dépend de sa vitesse et de l’état de la route.
On peut la calculer à l’aide de la formule suivante :
d = k ×V ² avec d : distance de freinage en m V : vitesse du véhicule en m/s
k : coefficient dépendant de l’état de la route k = 0,14 sur route mouillée
k = 0,08 sur route sèche.
Quelle est la vitesse d’un véhicule dont la distance de freinage sur route mouillée est égale à 15 m?
Le freinage a lieu sur une route mouillée donc k = 0,14.
On sait de plus que d = 15.
En remplaçant ces valeurs dans l’égalité d = k ×V², on en déduit que :
15 = 0,14 V² c’est-à-dire V² = , ≅ 107,14 soit V ≅ √107,14 = 10,35 m/s.
La vitesse de ce véhicule est environ 10,35 m/s.
Exercice 7 (/12) Métropole 2017
On donne le programme suivant qui permet de tracer plusieurs triangles équilatéraux de tailles différentes.
Ce programme comporte une variable nommée « côté ». Les longueurs sont données en pixels.
On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90° » signifie que l’on se dirige vers la droite.
1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé?
Les coordonnées du point de départ sont (-200 ; -100)
2. Combien de triangles sont dessinés par le script ?
Le script permet de dessiner 5 triangles.
3. a. Quelle est la longueur (en pixels) du côté du deuxième triangle tracé?
La longueur du côté du deuxième triangle est 100 – 20 = 80.
b. Tracer à main levée l’allure de la figure obtenue quand on exécute ce script.
4. On modifie le script initial pour obtenir la figure ci-contre.
Indiquer le numéro d’une instruction du script après laquelle on peut placer l’instruction
tourner de degrés pour obtenir cette nouvelle figure.
Il faut l’insérer après l’instruction 8 du script initial.
Exercice 8 Polynésie 2017 (/12)
On considère le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre;
• Le multiplier par - 4;
• Ajouter 5 au résultat.
1. Vérifier que lorsque l’on choisit −2 avec ce programme, on obtient 13.
(-2) × (-4) + 5 = 8 + 5 = 13.
En choisissant -2 avec ce programme on trouve bien 13.
2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir −3?
On effectue le programme à l’envers :
On part de -3 puis on enlève 5 pour obtenir -8 et on divise par -4 ce qui nous donne 2.
En choisissant 2 avec ce programme on trouve -3.
3. Salomé fait exécuter le script ci-contre :
a. Quelle sera la réponse du lutin si elle choisit le nombre 12?
Comme -4 ×12 + 5 = -48 + 5 = -43 < 0, la réponse du lutin sera « Bravo ».
b. Quelle sera la réponse du lutin si elle choisit le nombre −5?
Comme -4 ×(-5) + 5 = 20 + 5 = 25 > 0, la réponse du lutin sera « Essaie encore ».
4. Le programme de calcul ci-dessus peut se traduire par l’expression littérale −4x +5 avec x représentant le nombre choisi.
Résoudre l’inéquation suivante : −4x +5 < 0 -4x + 5 < 0 -4x + 5 – 5 < 0 – 5
-4x < -5
x > )) = = 1,25
Les solutions de cette inéquation sont les nombres supérieurs à 1,25.
5. À quelle condition, portant sur le nombre choisi, est-on certain que la réponse du lutin sera « Bravo » ?
D’après la question 4, -4x + 5 < 0 lorsque x est supérieur à 1,25.
Le lutin affichera donc Bravo dès que le nombre choisi sera supérieur à 1,25.
Exercice 9 - Transformations (/6)
Pour chaque phrase, indiquer si elle est vrai ou fausse. Chaque erreur fera perdre 1 point. Chaque bonne réponse fait gagner un point et l’absence de réponse zéro point.
1) F5 est l’image de ABCD par une translation. FAUX
2) F3 est l’image de ABCD par une rotation d’angle 90° et de centre O. FAUX 3) F1 est l’image de ABCD par une rotation de centre A et d’angle 45°. VRAI 4) F5 est l’image de ABCD par une homothétie de centre O et de rapport 0,5. VRAI 5) F4 est l’image de ABCD par la translation transformant D en E. VRAI
6) F2 est l’image de ABCD par une homothétie de centre N. FAUX
A
MC
B
D
E
O
F5
F4
F1
F2
F3
N
