A B C
D
I
J
C′
A′
Considérons en toute généralité un quadrilatère ABCD quelconque ayant des diagonales de longueurs données et déterminant un angle donné entre elles.
Prouvons que le périmètre minimal est atteint lorsque le quadrilatère est un parallélogramme.
Considérons la translation de vecteur #»
IJ où I et J sont les milieux respectifs de [AC] et de [BD].
Les points A et C ont pour image A’ et C’ par cette translation. Alors le quadrilatère A’BC’D est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leurs milieux. Ses diagonales déterminent le même angle entre elles que celles de ABCD car (A’C’) est parallèle à (AC). Elles ont aussi les mêmes longueurs que celles de ABCD.
Plaçons-nous dans le plan complexe et appelonsa,b, cetdles affixes respectives de A, B, C et D.
Alors #»
IJ a pour affixe 12(b+d−a−c), # »
DC’ a pour affixe 12(b−a+c−d) et # »
DA’ a pour affixe 12(b−c+a−d).
En appliquant deux fois l’inégalité triangulaire : |b−a+c−d|+|b−c+a−d| ≤ |b−a|+|c−d|+|b−c|+|a−d|.
Ceci se traduit en termes de longueurs par : 2DC’+2DA’≤AB+BC+CD+DA .
Autrement dit, parmi tous les quadrilatères ayant des diagonales de même mesure et déterminant un même angle entre elles, c’est le parallélogramme qui a le plus petit périmètre.
En revenant à notre problème, en utilisant la formule d’Al-Kashi, on trouve comme périmètre minimal : 2(
p
2802+ 4352+ 280×435 +
p
2802+ 4352−280×435) = 2012 mm au mm le plus proche.
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