Enoncé D269 (Diophante) Un périmètre minimum
Les diagonales AC etBD d’un quadrilatère convexe ABCD me- surent 560 mm et 870 mm et déterminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre le plus proche ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les diagonales se coupent en K, et je les imagine comme deux barres articulées en K de façon à maintenir leur angle à 60° tout en permettant àK de se déplacer sur les segments AC etBD.
Je réalise le périmètre ABCD par un fil élastique passant sans frottement sur 4 petites poulies aux 4 sommets. Qualitativement, on voit que si l’angle CDA est plus grand que l’angle ABC, la tension du fil va pousser la tigeBDdeBversDà travers l’articu- lationK; de même pour la tigeAC, dans un sens ou dans l’autre selon que l’angle BCD est plus grand ou plus petit que l’angle DAB.
Ainsi l’équilibre au périmètre minimum correspond à la configu- ration symétrique (parallélogramme) où les angles opposés sont égaux et où les diagonales se coupent en leur milieu.KA=KC = 280 mm,KB =KD= 435 mm.
Les petits côtés valent alors, par Al-Kashi,
√
2802+ 4352−280·435 =√
145825 = 381,87 millimètres, et les grands
√2802+ 4352+ 280·435 =√
389425 = 624,04 millimètres.
Périmètre total
2(381,87 + 624,04) = 2011,82 soit 2012 millimètres.
1