Les parallélogrammes
I) Définition et vocabulaire :
a) Rappel du vocabulaire sur le quadrilatère :
b) Le parallélogramme :
1) Définition :
Soit [AB] un segment et O un point donné. On construit le symétrique [A’B’] du segment [AB] par rapport au point O :
O est le centre de symétrie du quadrilatère ABA’B’.
Le quadrilatère obtenu s’appelle un parallélogramme.
D’après le cours sur la symétrie centrale, on peut conclure que : (AB) // (A’B’) et (AB’) // (A’B)
D’où la définition : Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
2) Propriétés du parallélogramme :
Dans tout ce paragraphe, nous utiliserons la figure construire au b) 1).
Par construction, A a pour symétrique A’ et B a pour symétrique B’ par la symétrie centrale de centre O : [AA’] et [BB’] ont donc le même milieu O.
Autrement dit : Propriété n°1 :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
De même, [AB] a pour symétrique [A’B’] et [AB’] a pour symétrique [A’B]
par la symétrie centrale de centre O. Comme la symétrie centrale conserve les distances, on en déduit que AB = A’B’ et AB’ = A’B.
Autrement dit : Propriété n°2 :
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur.
De même, l’angle ′ a pour symétrique l’angle ′ ′ et l’angle
′ a pour symétrique l’angle ′ ′ par la symétrie centrale de centre O. Comme la symétrie centrale conserve les mesures d’angles, on en déduit que :
• les angles opposés ′ et ′ ′ ont même mesure.
• les angles opposés ′ et ′ ′ ont même mesure.
Autrement dit : Propriété n°3 :
Les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure.
On montrera en exercice la propriété suivante : Propriété n°4 :
Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.
3) Propriétés pour identifier un parallélogramme : Propriété n°5 :
Tout quadrilatère qui a :
1) ses diagonales qui se coupent en leur milieu, OU
2) ses côtés opposés parallèles, OU
3) ses côtés opposés de même longueur, OU
4) ses angles opposés de même mesure, OU
5) deux côtés opposés parallèles et de même longueur, est un parallélogramme.
Exemples :
ABCD n’est pas un parallélogramme car ses côtés opposés ne sont pas de la même longueur ( AB ≠ CD ).
MNPQ est un parallélogramme car ses diagonales [MP] et [NQ]
se coupent en leurs milieux.
II) Les parallélogrammes particuliers : 1) Le rectangle :
a) Définition :
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Exemple :
ABCD est un rectangle.
Remarques :
1) Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles et de même longueur. (*)
2) Les diagonales d’un rectangle sont de la même longueur.
D’après (*), on peut dire qu’un rectangle est un parallélogramme : le rectangle possède donc les mêmes propriétés que le parallélogramme.
b) Propriété :
Un rectangle est un parallélogramme qui a : 1) un angle droit,
OU
2) ses diagonales de même longueur.
Méthode :
Dans la pratique pour montrer qu’un quadrilatère est un rectangle :
• On montre tout d’abord que c’est un parallélogramme en utilisant la propriété n°5.
• Puis on montre que ce parallélogramme est un rectangle en utilisant la propriété ci-dessus.
2) Le losange : a) Définition :
Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
Exemple :
ABCD est un losange
Remarques :
1) Les côtés opposés d’un losange sont parallèles et de même longueur.
(*)
2) Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.
D’après (*), on peut dire qu’un losange est un parallélogramme : le losange possède donc les mêmes propriétés que le parallélogramme.
b) Propriété :
Un losange est un parallélogramme qui a : 1) deux côtés consécutifs de même longueur
OU
2) ses diagonales perpendiculaires.
Méthode :
Dans la pratique pour montrer qu’un quadrilatère est un losange :
• On montre tout d’abord que c’est un parallélogramme en utilisant la propriété n°5.
• Puis on montre que ce parallélogramme est un losange en utilisant la propriété ci-dessus.
3) Le carré : a) Définition :
Un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.
Exemple :
ABCD est un carré
Remarques :
1) Les côtés opposés d’un carré sont parallèles et de même longueur.
(*)
2) Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et de même longueur.
D’après (*), on peut dire qu’un carré est un parallélogramme : le carré possède donc les mêmes propriétés que le parallélogramme.
b) Propriété :
Un carré est un parallélogramme qui a :
1) deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires OU
2) ses diagonales perpendiculaires et de même longueur.
Méthode :
Dans la pratique pour montrer qu’un quadrilatère est un carré :
• On montre tout d’abord que c’est un parallélogramme en utilisant la propriété n°5.
• Puis on montre que ce parallélogramme est un carré en utilisant la propriété ci-dessus.
Remarque :
Un carré étant à la fois un rectangle ( car il a quatre angles droits ) et un losange ( car il a quatre côtés de même longueur ), pour montrer qu’un quadrilatère est un carré, on peut montrer qu’il est à la fois un losange et un rectangle.
III) Exemple d’une démonstration :
On rappelle qu’en géométrie, une démonstration doit être écrite sous la forme suivante :
1) On énonce les hypothèses nécessaires à la démonstration.
2) On cite une propriété ou une définition pour justifier.
3) On conclut par une phrase.
Exercice :
1) Construire un cercle centre O.
2) Placer sur ce cercle deux points A et B et construire le point C diamétralement opposé au point A et le point D diamétralement opposé au point B.
3) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Correction : 1) 2)
3) Montrons tout d’abord que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
On sait que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD sont deux diamètres du cercle de centre O : elles se coupent en leurs milieux O ( car tous les diamètres d’un cercle ont pour milieu le centre de ce cercle ).
Or, tout quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux est un parallélogramme.
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Montrons ensuite que le parallélogramme ABCD est un rectangle.
On sait que les diagonales du parallélogramme ABCD sont de la même longueur car ce sont deux diamètres du cercle ( tous les diamètres d’un cercle sont de la même longueur ).
Or, tout parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle.
Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.
