(1)Problème D237 Un quadrilatère ABCDEF que ses diagonales principales partagent en moitiés de même aire a ses diagonales concourantes

Problème D237

Un quadrilatère ABCDEF que ses diagonales principales partagent en moitiés de même aire a ses diagonales concourantes.

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Construisons un tel hexagone. On trace le quadrilatère ABCD. Sur la diagonale AD on prend un point O, future intersection de AD et BE.

Comme les quadrilatères ABCD et BCDE ont même aire, moitié de celle de l’hexagone, et ont en commun le quadrilatère BCDO, les triangles ABO et DEO ont la même aire.

Le point E situé sur BO est alors déterminé.

Prenons O comme origine, AD sur l’axe des ordonnées.

On note les coordonnées de A (0,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(0,y4), E(x5,y5), F(x6,y6).

E sur BO fournit x2.y5 = x5.y2

Les aires ABO et DEO égales donnent y1.x2=y4.x5

D’où x5 = x2.y1/y4

et y5 = y1.y2/y4

Le calcul de la pente de AE donne : (y5-y1)/x5 et en remplaçant x5 et y5, (y2-y4)/x2, ce qui est la pente de BD.

On obtient la propriété remarquable BD // AE. Cette propriété est aussi vérifiée pour les autres petites diagonales : BF // CE et DF // AC, et cela permet de déterminer F très facilement.

Il reste à calculer les coordonnées de F et à vérifier l’alignement de F, O, C (y6-y2)/(x6-x2) = (y3-y5)/(x3-x5)

(y6-y4)/ x6 = (y1-y3)/(-x3) ou encore

(x3-x5) .y6 – (y3-y5).x6 = y2.(x3-x5) – (y2-y5).x2 (équation de BF) x3.y6 + (y1-y3).x6 = x3.y4 (équation de DF) x3.y6 - y3.x6 = 0 (équation de OC)

Ces 3 droites concourent en F si ce système aux inconnues x6 et y6 a une solution.

Des deux dernières équations, on obtient x6 = x3.y4/y1 et y6=y3.y4/y1 ce qui vérifie bien la première équation.

On peut mettre les coordonnées de F sous la forme x6=x2.x3/x5 et y6=y2.y3/y5

On peut enfin vérifier que le triangle AOF a la même aire que COD

Aire AOF = -y1.x6/2 = - x3.y4/2 qui est l’aire de COD. Cela suffit à montrer que CF partage l’hexagone en deux moitiés de même aire.