D269. Le périmètre minimum
Les diagonalesAC etB Dd’un quadrilatère convexeABC D mesurent 560 mm et 870 mm et dé- terminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre le plus proche ?
Solution de Claude Felloneau
Le périmètre minimum du quadrilatèreABC Destp=10p
5833+10p
15577, soit 2012 mm en arrondissant au mm.
On construit les pointsE etF tels que−→AE =−→FC =−−→B D puis les milieuxB0etD0des segments dbAFecetdbC Eec. La droite (B D) coupe (AF) enB1et (C E) enD1. On a−−−→B0D0=−−−→B1D1=−−→B D.
b
A
bC
b
D0
bB0
bB
bD
b
B1
b
D1
b
E
b
E1
bF
b I
60˚
bO
60˚
Le quadrilatèreAB0C D0vérifie les mêmes conditions que le quadrilatèreABC D.
CommeB DC Fest un parallélogramme,C D=B F donc
(1) AB+C D=AB+B F >AF =AB0+C D0 carC F B0D0est un parallélogramme.
AD+C B=∥−−→AD∥ + ∥−→BC ∥=∥−−−→AD1+ −→u ∥ + ∥−−→B1C− −→u ∥avec−→u =−−−→D1D=−−→B1B. On en déduit que
(2) AD+C B>∥−−−→AD1+ −→u +−−→B1C− −→u ∥=∥−−−→AD1+−−→AE1∥ oùE1est le symétrique deD1par rapport àD0.
Comme−−−→
AD1+−−→
AE1=2−−−→
AD0, on obtient
(3) AD+C B>2AD0=AD0+C B0.
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D’après (1) et (3), le périmètre du quadrilatèreABC Dest supérieur ou égal à celui du parallélo- grammeAB0C D0.
Le minimum cherché est doncp=2AB0+2AD0.
En notantOle centre du parallélogrammeAB0C D0, la relation d’Al Kashi donne : AB02=O A2+OB02−O A.OB0=2802+4352−280×435
et
AD20=O A2+OD20+O A.OD0=2802+4352+280×435 doncp=10p
5833+10p 15577.
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