D1873 – To be or not to be [**** à la main]
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
La surface du triangle est égale à p.r/2 soit 804.
Les côtés du triangle sont vus à partir du centre du cercle circonscrit par les angles 2A,2B et 2C. On a C=pi -A- B ou C=A+B suivant que le triangle possède ou non un angle obtus.
On a donc le périmètre du triangle qui est égal à p= 2.R.(sin(A)+ sin(B) +sin(C)) ou encore 2R.(sin(A)+sin(B)+sin(A+B)).
Et la surface du triangle est égale à R².(sin(A).cos(A) +sin(B).cos(B)+ sin(C).cos(C)), soit
R².(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C))/2 ou encore R².(sin(2A)+sin(2B).cos(B)+- sin(2.(A+B)))/2 suivant que le triangle possède ou non un angle obtus.
On a donc les deux équations
sin(A)+sin(B)+sin(A+B)=134/54 et sin(2A)+sin(2B).cos(B)+- sin(2.(A+B))= 1608/729.
En résolvant sin(B) en fonction de A, on obtient les deux équations du second degré suivantes X²-(K-sin(A)).X +(K²-2.K.sin(A))/2.(1+cos(A))=0 pour X= sin(B) et K=134/54
Y²-(L-sin(2A)).Y +(L²-2.L.sin(2A))/2.(1-+cos(2A))=0 suivant la nature du triangle et pour Y= sin(2B) et L
=1608/729.
Pour une même valeur de B peut-on obtenir la même valeur de A ?
En comparant les résultats obtenus pour ces deux équations et sauf erreur de calcul, il ne semble pas y avoir de solution commune.
L’écart le plus faible est obtenu pour un triangle sans angle obtus et pour lequel A=48,3° et B= 47,8°.
