−2 1 + 2 sin − cos

INTEGRALES 4^ème Sc EXPERIMENTALES

Exercice 1

1) Calculer les intégrales suivantes :

3 − 2 + 1 ; cos ; 2 + ; −2 1 + 2 sin − cos ; cos sin ; 2 sin + cos + 3 ;

! ! ; 1 2"

√" + 1 " − 2"

√" + 1 "

$ ; 1 + ^{$ %} ; sin

2 a Calculer cos

b En déduire sin Exercice 2

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par / = cos . 1) a) Calculer ∀ ∈ 00 , 3 ; /′ .

b) Justifier que / réalise une bijection de 00 , 3 sur 80 , 19. 2) Soit g la fonction réciproque de /.

a) Justifier que : est dérivable sur 80 , 18 . b) Montrer que ∀ ∈ 80 , 18 : :^; = −_{√ <=} 3) a) Calculer : > ? et : >^√$?.

b Montrer que

√1 −

√$

= C 6 Exercice 3

Soit / la fonction définie sur ℝ par : / = ^$+ 3 + 4 et soit G sa courbe représentative dans un repère orthonormé H IJ , KJ .

1) a) Dresser le tableau de variation de /.

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b) Montrer que L −1 , −2 est un point d’inflexion de G . c) Donner une équation de la tangente M à G en L.

2) a) Dresser le tableau de variation de /′ et en déduire que ∀ ∈ ℝ on a : /^; ≥ 1. b) Montrer en intégrant l’inégalité précédente que ∀ 8−1 , +∞8 ∈ et ∀ ∈ 8−1 , 9 on a / ≥ − 1

d) En déduire la position relative de G et M. Exercice 4

Soit la fonction / définie par / = P ^<_< et soit (C) sa courbe.

1) a) Etudier la dérivabilité de / à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement.

b) Dresser le tableau de variation de .

c) Montrer que / admet une fonction réciproque que l’on note / définie sur 80 , +∞8. d) Montrer que ∀ ∈ 80 , +∞8 , / = _Q<^<=₌

e) Tracer (C) et (C’) courbe de / .

2) Soit R l’aire de la partie du plan limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives : = 0 et = 1 .

Montrer que R = S _Q<^<==

Exercice 5

Soit la fonction / définie sur 3− , 0 par / = et soit G sa courbe . 1) Etudier / et tracer G .

2) Soit R l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G l’axe des abscisses et les droites d’équations = 0 et = Calculer R.

3) Soit la fonction : définie sur 3− , 0 par : / + / .

a) Montrer que : admet une unique primitive T qui s’annule en 0. b) Montrer que ∀ ∈ 3− , 0 ; T =_$ ^$ .

4) Calculer le volume U engendré par la rotation de R autour de l’axe des abscisses.

Exercice 6

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par / = sin

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1) Etudier les variation de / et construire sa courbe G .

2) Calculer R l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G , l’axe des abscisses et les droites d’équations = 0 et =

3) Calculer le volume U du solide de révolution engendré par la rotation de R au tour de l’axe des abscisses.

Exercice 7

Soit / la fonction définie sur 80 , C9 par / = et G_V sa courbe.

1) a) Dresser le tableau de variation de . b) Tracer G_V .

2) Linéariser et ( cos 2 = 1 − 2 ).

3) Calculer R l’aire de la partie du plan limitée par G_V et les droites d’équations :

= 0 et = C

4) Calculer le volume engendré par la rotation de la courbe G_V au tour de l’axe des abscisses.

Exercice 8

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par : / = Wcos 0 ≤ ≤ sin ≤ ≤ Y 1) Montrer que / est continue sur 00 , 3.

2 Calculer / Exercice 9

On pose \ = 1 +

<

1) Déterminer le domaine de définition de \.

2) Etudier la dérivabilité de \ et en déduire que \ est strictement croissante sur ℝ. 3) On pose : = \ tan ; ∀ ∈ 3− , 0.

a) Calculer : 0 .

b) Montrer que : est dérivable sur 3− , 0 et calculer :^; . c) En déduire que ∀ ∈ 3− , 0 ; \ tan =

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Exercice 10

Déterminer la valeur moyenne sur 80 , C9 de la fonction / = sin . Exercice 11

On considère la suite ]_^ définie sur ℕ par : ]_^ = 2 1 + ^{^Q}

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ ; ]_^ ≥ 0. b) Montrer que ∀n∈IN ;

1 n U 1 U_{n 1 n}

= +

+ +

2) Calculer ] , ] et ]

3) Montrer que ]_^ est décroissante

4) En déduire que ]_^ est convergente et déterminer sa limite . Exercice 12

Soit la suite L_^ définie sur ℕ^∗ par : L_^ = tan ^{^}

1) a) Montrer que pour tout ∈ ℕ^∗ la suite L_^ est à termes positifs.

b) Montrer que la suite L_^ est décroissante.

2) a) Pour tout ∈ ℕ^∗ et pour tout ∈ 00 , 3 ; calculer la dérivée de la fonction : = tan ^{^Q}

b) En déduire que pour tout ∈ ℕ^∗ on a : L_^+ L_^Q =_^Q c) Montrer que pour tout ∈ ℕ^∗on a : 0 ≤ L_^ ≤_^Q en déduire _^→Qclim L_^. Exercice 13

On a représenté ci-dessous la courbe G d’une fonction / définie et dérivable sur 91 , +∞8 et la courbe G’ de sa fonction dérivée.

Les droites ∆ et ∆^; d’équations respectives = 1 et f = − 4 sont des asymptotes à G . La courbe G admet au point d’abscisse 3 une tangente horizontale.

On désigne par R l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G′ , l’axe des abscisses et les droites d’équation = 3 et = 5.

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1) a) Par lecture graphique donner b) Par lecture graphique déterminer

2) a) Par lecture graphique donner la position relative de relative de G′ et ∆^;;: f 4 3.

b) En déduire que : i R i 2 3 Soit k 4 ^% /^′

$

A l’aide d’une intégration par parties

4) Sachant que / 4 4

∆:

∆^;;: f 4 3

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Par lecture graphique donner /^; 3 , _<→Qclim / 4 et _<→lim déterminer / 3 et / 5 .

Par lecture graphique donner la position relative de G′ et ∆^;: f 4 .

2.

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : k 4 5/ 5 R

< ⁼ ; déterminer la valeur de R puis la valeur de 4 1

G

∆^;: f 4 4

G^;

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lim_{→ l}/ .

4 4 et la position

puis la valeur de k.

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