1. Existe-t-il une fonction f continue et périodique sur dont les coefficients de Fourier trigonométriques valent : et ? 2. Calculer .

PanaMaths Mars 2012

1. Existe-t-il une fonction f continue et 2   périodique sur dont les coefficients de Fourier trigonométriques valent : ^a

ⁿ

  ^{f } ₂ ¹

ⁿ

^et

  ⁰

b

n

f  ?

2. Calculer

0

5 4cos dt

t



  ^.

Analyse

Une étude de série trigonométrique simple qui aboutit à un joli calcul d’intégrale !

Résolution

Question 1.

D’après l’énoncé, on s’intéresse à la série trigonométrique :

0

 

1 1

cos 1 1 1

2 2 2 2 2

inx inx

n n n

a nx

e e^

 

 

     

 

 

La série numérique ¹₁ 2^n



étant convergente (série géométrique de raison ¹



^{1 ; 1}



2  ), cette série de fonctions converge normalement vers une fonction f continue et 2périodique dont cette série est la série de Fourier.

On a donc :

 

1 1

1 1

1 0

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 1

inx inx inx inx

n n n n

n n

n n n n

ix ix ix ix

n n

f x e e e e

e e e e

 

 

 

 

 

 

 

   

        

         

   

            

 

 

PanaMaths Mars 2012

Les séries géométriques

2

ix n

e 

 

 



^{et e}₂^{ix n}

 



sont convergente puisque leurs raisons sont

de module 1

2 2 2

ix ix

e  e^  strictement inférieur à 1.

Il vient alors :

 

  

0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 2 2

1 1

2 2

1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2

1 4 1 4 2 cos

2 4 2 2 1 2 5 4 cos

5 4 cos 8 4 cos 2 5 4 c

n n

ix ix

ix ix

n

ix ix

ix ix ix ix

ix ix

ix ix

e e

f x e e

e e

e e e e

e e x

e e x

x x

 

 



 





 

      

 

              

  

      

   

  

     

   

   

 





^os



^{2 5 4 cos}



³



3 1

2 5 4 cos

x x

x

 

 

La fonction f continue, 2périodique sur et admettant comme coefficients de Fourier trigonométriques

 

¹

n 2n

a f  et bn

 

f ⁰ est la fonction définie par :

 

^{3 1}

2 5 4 cos

f x  x



Question 2.

On a :

 

0 0

2 5 4 cos 3

dt f t dt

t

 

 

 

^.

Or, on a, en tenant compte de la parité de f : 0

   

0

1 2

1

a ^ f t dt ^ f t dt

 ^ 

 







^.

On déduit de ce qui précède :

 

0^ f t dt 2



 ^puis 0 0

^{ }

2 2

5 4 cos 3 3 2 3

dt f t dt

t

   

   







^.

0 5 4 cos 3 dt

t

 _



