Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique donn´ee par: f(x

Universit´e Paris Diderot L3 Maths Appliqu´ees

M2303 Analyse de Hilbert et de Fourier Ann´ee 08/09

Feuille d’exercices 7

1. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique donn´ee par: f(x) = sgnx sur l’intervalle [−π, π[.

En d´eduire l’´egalit´e:

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = π² 8 , puis

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

2. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique donn´ee par: f(x) =π−x sur l’intervalle [0,2π[. Retrouver ainsi la seconde des formules ci-dessus.

3. Soit f une fonction 2π-p´eriodique et de carr´e int´egrable sur tout intervalle de longueur 2π. On note c_n(f), n∈Z, les coefficients de Fourier de f.

Montrer que (i) si f est paire: ∀n∈Z cn(f) =c−n(f) = 1 π

Z π

0

f(x) cos(nx)dx, (ii) si f est impaire: ∀n∈Z cn(f) =−c_−n(f) = −i

π Z π

0

f(x) sin(nx)dx.

4. a) Montrer que les fonctions cos(nx), n ∈ lN, et sin(nx), n ∈ lN^∗, convenablement nor- malis´ees constituent une base hilbertienne de L²([0,2π]).

b) Montrer que toute fonctionf de L²([0,2π]) peut s’´ecrire (´egalit´e dansL²([0,2π])):

f(x) = 1 2a0+

+∞

X

n=1

ancos(nx) +bnsin(nx) ,

o`u a_n=c_n(f) +c−n(f) (n∈lN) etb_n=i(c_n(f)−c−n(f)) (n∈lN^∗).

c) Quelle forme prend la repr´esentation pr´ec´edente si f est paire, impaire?

d) Montrer que: kfk²₂ = 1

4|a₀|²+1 2

+∞

X

n=1

(|a_n|²+|b_n|²).

5. a) Pour α∈lR^∗, on d´efinit: f(x) =e^αx pour x∈[0,2π[.

Calculer les coefficients de Fourier de f et en d´eduire l’identit´e:

1

e^2πα−1 =−1 2 + 1

2πα + 1 π

+∞

X

n=1

α n²+α²· b) Pour a∈lR\Z, on d´efinit: f(x) =e^iax pourx∈[−π, π[.

Calculer les coefficients de Fourier de f et en d´eduire l’identit´e:

π² sin²(πa) =

+∞

X

n=−∞

1 (a−n)² · 1

6. a) Soit f une fonction 2π-p´eriodique, ´el´ement de L²([0,2π]). Montrer que si f v´erifie la condition:

X

n∈Z

|c_n(f)|<+∞ (C), alorsf est presque partout ´egale `a une fonction continue sur lR.

(N.B. La r´eciproque de cette propri´et´e est fausse, quoiqu’un contre-exemple ne soit pas facile `a construire.)

b) La fonction 2π-p´eriodique qui vautf(x) = sgn(x) sur [−π,+π[ v´erifie-t-elle la condition (C)? Mˆeme question pour les fonctions:

(i) g(x) =x sur [0,2π[, (ii)h(x) =x² sur [−π,+π], (iii) j(x) =|x|sur [−π,+π], (iv)k(x) =|sin(^x₂)|sur lR.

c) Pour lesquelles de ces fonctions pouvez-vous affirmer qu’elles sont ´egales en toutx∈lR

`

a la somme de leur s´erie de Fourier?

7. Soit f la fonction 2π-p´eriodique donn´ee par: f(x) =x(2π−x) sur [0,2π].

Calculer les coefficients de Fourier de f⁰.

En d´eduire ceux de f, puis la valeur de la somme infinie

+∞

X

n=1

cos(nx)

n² pour x∈lR.

8. Soit f une fonction 2π-p´eriodique, int´egrable sur [0,2π] et telle que Z 2π

0

f(x)dx= 0.

On pose, pour tout x∈lR,F(x) = Z _x

0

f(t)dt.

a) Montrer queF est une fonction continue sur lR et 2π-p´eriodique.

b) Montrer quecn(f) =in cn(F) pour toutn∈Z.

c) Retrouver les coefficients de Fourier de la fonctionj du b) (iii) de l’exercice 6.

d) On suppose de plus que Z 2π

0

F(x)dx= 0 et que f ∈L²([0,2π]). Montrer que Z 2π

0

|F(x)|²dx≤ Z 2π

0

|f(x)|²dx

avec ´egalit´e si et seulement si la fonctionF est de la forme F(x) =ae^ix+be^−ix.

9. On s’int´eresse aux fonctions f 2π-p´erodiques et de classeC² sur lR qui sont solutions de l’´equation diff´erentielle:

(E) f⁰⁰(x) + 2f⁰(x)−3f(x) =g(x), o`u g(x) =|sin(^x₂)| (x∈lR).

a) En calculant ses coefficients de Fourier, montrer l’unicit´e d’une telle solution.

b) Montrer inversement qu’une telle solution existe.

c) D´eterminer toutes les solutions de (E), y compris celles qui ne sont pas p´eriodiques.

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