Examen de rattrapage

Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”

Examen de rattrapage

Exercice 1. Des identit´es fonctionnelles.

(i) Soitαun r´eel positif non entier. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π−p´eriodique valant cos(αt) sur l’intervalle [−π, π). Prouver ensuite la formule

π

tan(πα) = 1

α − X

n≥1

2α n²−α²·

En d´eduire par int´egration le d´eveloppement eul´erien suivant sin(πλ)

πλ = Y

n≥1

1− λ²

n²

.

(ii) D´evelopper exp(ze^it) et exp(ze^−it) suivant la d´efinition de l’exponentielle, pour tout z ∈ C. En d´eduire l’identit´e suivante pour la fonction de Bessel de premi`ere esp`ece :

1 2π

Z 2π

0

e^2zcostdt = X

n≥0

z²ⁿ (n!)²·

Exercice 2. Polynˆomes de Legendre. On pose P_n(x) = 1

2ⁿn!

dⁿ dxⁿ

(x²−1)ⁿ

pour toutx∈R, n≥0.

(i) Montrer que P_n est un polynˆome de degr´e n pour toutn ≥0. Calculer P₀ et P₁. (ii) En ´ecrivant x² −1 = (x−1)(x+ 1), montrer quePn(1) = 1 pour tout n ≥0.

(iii) On pose h_n(x) = (x² −1)ⁿ. Montrer que (x²−1)h⁰_n = 2nxh_n. En diff´erentiant (n+ 1) fois cette identit´e, montrer que

(1−x²)h⁽ⁿ⁺²⁾_n − 2xh⁽ⁿ⁺¹⁾_n + n(n+ 1)h⁽ⁿ⁾_n = 0.

En d´eduire que P_n v´erifie l’´equation de Legendre (1−x²)P_n⁰⁰

+ n(n+ 1)P_n = 0 pour toutn≥0.

1

(iv) Montrer `a l’aide du (iii) que Z 1

−1

Pm(x)Pn(x)dx = 0 si m6=n.

(v) D´eduire de (i), (iv) et d’un th´eor`eme du cours que, convenablement renormalis´ee, la famille{Pn, n≥0}est une base orthonormale de l’espace de HilbertL2([−1,1], dx).

Exercice 3. Interpolation. Soit (X,F, µ) un espace mesur´e avec µmesure finie. On utilise les espaces de Banach habituels L_p =L_p(X,F, µ) pour tout p∈[1,+∞].

(i) Pour tout q > p≥1, expliciter une constanteCp,q telle que

||f||_p ≤ C_p,q||f||_q

pour toutf ∈ L_q.

(ii) Soit q≥p≥1. Montrer que pour toutr∈[p, q] il existe une constante α∈[0,1]

telle que

1 r = α

p + 1−α q · (iii) Avec les notations ci-dessus, montrer que

||f||_r ≤ ||f||^α_p ||f||^1−α_q .

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