1 Intégrale d’une fonction continue positive

S9 - Étude/fonc 3 Intégration _T^ale_ES

1 Intégrale d’une fonction continue positive

Z b

a

f(x) dx

x=a O I x=b J

1u.a.

Cf

.

lexde « dx» est la variable par rapport à laquelle on effectue les calculs

Remarque.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I = [a;b].

On appelle intégrale de f sur I l’aire du domaine délimité par la courbe représentative C_f de f, l’axe des abscisses et les droites d’équa- tionsx=aetx=b. On note alors cette intégrale :

Z b a

f(x) dx

Cette aire est exprimée en unités d’aire (u.a.), qui correspond à l’aire du rectangle de côtés OI et OJ.

Définition 1.

Exemple 2

1 2 3

1 2 3 4

−1

−2 O

1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3 O

Z ⁴

−1

3 dx= 3×5 = 15 u.a.

Z ³

−3

−1 3x+ 2

dx= (1 + 3)×6

2 = 12 u.a.

une telle fonction F s’ap- pelle une primitive de f (voir S13)

Remarque.

• Soit f une fonction continue et positive sur l’intervalle I = [a;b], la fonction F définie sur [a;b] par F(x) = ^{Z x}

a

f(t) dt est dérivable de dérivée f : pour tout réelx∈[a;b], F^′(x) =f(x).

• Pour calculer ^{Z b}

a

f(x) dx, il suffit de connaître une fonction F déri- vable de dérivée f et on a ^{Z b}

a

f(x) dx=F(b)−F(a).

Théorème 3.

avec la TI 82 fr :

✄

✂math puis MATH puis 9✁ intégrFonct(3,x,-1,4)

Calculatrice.

Exemple 4

Calcul de Z ⁴

−1

3 dx: Calcul deZ ⁵

0

(2x+ 1) dx:

f(x) = 3 f(x) = 2x+ 1

F(x) = 3x F(x) =x²+x

Z ⁴

−1

3 dx=F(4)−F(−1)

= 12−(−3) = 15.

Z ⁵

0

(2x+ 1) dx=F(5)−F(0)

= 30−0 = 30.

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2 Propriétés de l’intégrale

propriétés de linéarité (addition et multiplication par un scalaire)

Remarque.

Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a;b] et λ un réel positif, alors :

• Z b

a

(f(x) +g(x)) dx=^{Z b}

a

f(x) dx+^{Z b}

a

g(x) dx;

• Z b

a

λf(x) dx=λ Z b

a

f(x) dx.

Proriété 5.

Ces propriétés permetent en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe à une succession d’intégrations de fonctions plus élé- mentaires.

propriétés de positivité et relation d’ordre

Remarque.

Soient f etg des fonctions continues et positives sur [a;b], alors :

• Z b

a

f(x) dx≥0 ;

• si pour toutx∈[a;b], f(x)≤g(x), alors^{Z b}

a

f(x) dx≤ Z b

a

g(x) dx.

Proriété 6.

relation de Chasles, mathématicien français (1793 -1880)

Remarque.

Soit f une fonction continue et positive sur [a;b] etc∈[a;b], alors : Z b

a

f(x) dx=^{Z c}

a

f(x) dx+^{Z b}

c

f(x) dx.

Proriété 7.

Interprétation graphique :

Z c a

f(x) dx ^{Z b}

c

f(x) dx

a c b

C_f ⁰

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