Séries entières

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Lycée Chrestien de Troyes_PC_mathématiques Page 1

Cours Séries entières PC

I Série de fonctions de variable complexe

Définition 1 : D une partie non vide de  (on dit aussi que D est un domaine de ) , ^f ^



^D,



^{et z}0D

On dit que f est continue en z₀ lorsque :

   

0

z z 0

lim f z f z 0

  

Définition 2 : On dit que la série de fonctions



f_n^{, avec}^fⁿ^

^

^D,

^

, converge simplement sur D si, pour tout zD, la série numérique



fn

 

z converge. Dans ce cas, la somme de cette série de fonctions est la fonction définie par n

 

n 0

z f z





 ^{et est}

notée _n

n 0

f





 (définition analogue pour la convergence absolue)

Définition 3 : On dit que la série de fonctions



f_n^{, avec}^fⁿ^

^

^D,

^

, converge normalement sur D lorsque :

 pour tout n, on a fn



D,



 le série numérique



f_n _est convergente.

Proposition 1 : Toute série de fonctions normalement convergente sur D converge absolument et simplement sur D.

Proposition 2 : Soit



f_n une série de fonctions, avec fn



D,



S’il existe une série numérique à termes réels positifs convergente



_n telle que, pour tout n :  z D, fn

 

z n Alors fn



converge normalement sur D.

Proposition 3 : La somme d’une série de fonctions continues sur D, qui converge normalement sur D, est continue sur D.

II Séries entières

Définition 4 : On appelle série entière toute série de fonctions



f_n où, pour tout n, f_n est une fonction de  dans  de la forme fn

 

z a zn ⁿavec a_n

II.1 rayon de convergence.

Proposition 4 (Lemme d’Abel)

Soit



a z_n ⁿune série entière. Si pour un réel >0, la suite



^aⁿ^ⁿ



est bornée, alors la série



a z_n ⁿest absolument convergente pour tout complexe z qui vérifie z .

Rappel : l’ensemble des complexes z tels z est le disque ouvert de centre O et de rayon . On le note ^{B O,}



^



l’ensemble des complexes z tels z est le disque fermé de centre O et de rayon . On le note B' O,

 

(2)

Définition 5 : soit



a z_n ⁿune série entière. E={₊ / la suite



^aⁿ^ⁿ



est bornée}. On appelle rayon de convergence de la série entière



a z_n ⁿla borne supérieure de E dans + {+}

Théorème 5 : Soit



a z_n ⁿune série entière de rayon de convergence R.

1. Si R < + et si |z| > R alors la suite

 

^{a z}ⁿ ⁿ n’est pas bornée et la série



a z_n ⁿ^diverge 2. Si R >0 et si |z| < R alors la série



a z_n ⁿconverge absolument.

II.2 Déterminer le rayon de convergence

Proposition 6 : Soit



a z_n ⁿune série entière de rayon de convergence R et z₀ 

1. Si la suite

 

^{a z}^{n 0}ⁿ est bornée alors R  |z0|

2. Si la série numérique



a z_{n 0}ⁿdiverge alors R  |z₀| Remarques :

 Dans la proposition 6 on aboutit à des inégalités larges.

 R=sup E n’est quasiment jamais utilisé pour déterminer R.

 Si la suite

 

^{a z}^{n 0}ⁿ est bornée et la série



a z_{n 0}ⁿdiverge alors R=|z₀|

 Généralement : on utilise les techniques apprises pour étudier les séries numériques pour déterminer R notamment la règle de d’Alembert appliquée à la série numérique



a z_n ⁿ

(3)

Proposition 7 : Soient deux séries entières



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿ de rayons de convergence respectifs R_a et R_b.

1. Si a_n = O(b_n) alors R_a  R_b 2. Si |a_n| ~ |b_n| alors R_a = R_b

II.2 Opérations sur les séries entières

Proposition 8 : Soient deux séries entières



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿ convergeant toutes deux sur le disque ouvert ^{B O,r}

 

^{et de}

sommes respectives f et g.

1. pour tout  , la série entière

 

anbn



zⁿ converge sur ^{B O,r}

 

et a pour somme f+g 2. La série entière



c z_n ⁿ^avec ⁿ ⁿ ^{k n k}

k 0

c a b_





converge sur ^{B O,r}

 

et a pour somme fg . La série entière



c z_n ⁿ est appelée produit de Cauchy des deux séries entières



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿ

Corollaire 9 : Soient deux séries entières



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿde Rayons de convergence respectifs R_a et R_b 1. Le rayon de convergence Rs de la série entière

 

anbn



zⁿ ^{vérifie R}^s^{ min (R}^a^{, R}^b⁾

De plus : si R_a  R_b alors R_s = min (R_a , R_b)

2. Le rayon de convergence R_p du produit de Cauchy des deux séries entières



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿ ^{vérifie R}^p^{ min (R}^a^{, R}^b⁾

Remarque : on ne peut rien dire de plus

Corollaire 10: L’ensemble des suites complexes

 

^a_{n n}_ telles que la série entière



a z_n ⁿconverge sur le disque ouvert

 

B O,r est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des suites complexes.

III Continuité, dérivation et intégration III.1 Convergence normale des séries entières

Théorème 11: Une série entière



a z_n ⁿde rayon de convergence R non nul converge normalement sur tout disque fermé

 

B' O,r tel que 0 <r < R , et converge normalement sur tout compact de  inclus dans ^{B O,R}

 

Remarque : en général il n’y a pas convergence normale sur le disque ouvert ^{B O,R}

 

III.2 Continuité

Proposition 12: La somme d’une série entière de rayon de convergence R non nul est continue sur le disque ouvert ^{B O,R}

 

^et

sur  si R = +.

(4)

Proposition 13: Soit



a z_n ⁿ^et



^{b z}ⁿ ⁿ convergeant toutes deux sur le disque ouvert ^{B O,r}

 

avec r >0 et de sommes respectives f et g.

Si pour tout x  [0,r[ , f(x) = g(x), alors n, a_n = b_n

Remarques :  Si f est somme d’une série entière sur B O,r

 

ou sur ]r,r[, avec r >0, on a unicité des coefficients.

 Soit f la somme d’une série entière réelle



a x_n ⁿ sur ]r,r[, avec r >0.

Si f est paire (respectivement impaire) alors n, a_2n+1 =0 (respectivement n, a_2n =0) III.3 Dérivation et intégration



a z_n ⁿune série entière de rayon de convergence R. Les séries entières

n 1 n

a z n 1





 ^et



^{na z}ⁿ ^{n 1}^ ^{ont le}

même rayon de convergence R.



a x_n ⁿune série entière à variable réelle, de rayon de convergence R non nul et de somme f.

 On peut l’intégrer terme à terme sur tout segment [a,b] inclus dans ]R,+R[ : ^b

 

n ^b ⁿ n 0 a a

f x dx a x dx









   

 En particulier : pour tout x]R,+R[, ^x

 

n ^{n 1} 0 n 0

f t dt a x n 1

 



 

 

 



a x_n ⁿune série entière à variable réelle, de rayon de convergence R non nul et de somme f. Alors f est C¹ sur ]R,+R[ et : pour tout x]R,+R[,

 

n ^{n 1}

n 1

f ' x na x

 





Corollaire 17: Soit



a x_n ⁿune série entière à variable réelle, de rayon de convergence R non nul et de somme f. Alors f est C^ sur ]R,+R[ et : pour tout k et pour tout x]R,+R[, on a :

 ^k

     

n ^{n k} n k

f x n n 1 n k 1 a x

 





  

^ ^ ^{ } ^

^{n k} ⁿ

n 0

n k n k 1 n 1 a x









   

Remarque : pour tout k,  ^k

 

k

f 0

a  k ! (on retrouve l’unicité des coefficients)

Exercice : Montrer pour tout z ^{B O,1}

 

et pour tout k,

 

n k n

k 1 k

n 0

1 z

1 z

 

 

 

  





 

Exercice : redémontrer sans la formule de Taylor avec reste intégral que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒^𝑥= ∑ ^𝑥^𝑛

𝑛!

+∞𝑛=0