c. . II 2 - Séries entières a c. . II 1 - Introduction a Séries de fonctions

(1)

Séries de fonctions

II 1 - Introduction

a.

Séries de fonctions.

b. Convergences.

c.

Intégration et dérivation.

II 2 - Séries entières

a.

Définition. Rayon de convergence.

b. Développement de fonctions usuelles.

c.

Application aux équations différentielles.

(2)

II 1 a - Séries de fonctions

{

^{u t}ⁿ

( ) }

n ^{S t}n

^{( )}

^{u t}p

^{( )}

^t ^I p

n

∈

=

∑

∈

Ν

0

Série de fonctions : ( où I est un intervalle)

II 1 b - Convergence d’une série de fonctions

* Convergence simple

* Convergence uniforme

( )

t fixé alors Lim S t_n S t

n→+∞ = ( )

( )

Limn→+∞ S t_n = S t( ) ∀ ∈t I

(3)

II 1 1: Etude des suites

( )

S t

n e t

n

= 1

⁻t n

≥

/

0 ( )

S t t

n

=  +

  

 

−

1

2 2

2

Pour chacune calculer

( ) ( )

Lim et Lim

n Sn t dt n Sn t dt

→+∞

+∞

→+∞

∫

⁰

∫

⁰+∞

a)

b)

Exercice

(4)

> assume(n>0):

> Int(exp(-t /n ) / n, t=0..infinity) :" = value( " ) ;

1 1

0

n e

⁻^{t n}

dt

+∞

=

∫

^/

> Limit( exp(-t/n) / n, n=infinity) : " = value( " ) ;

Lim

n

t n

n e

→+∞

−

=

1

^/

0

La convergence ici n’est que simple.

La limite de l’intégrale n’est pas l’intégrale de la limite.

MAPLE

(5)

> restart : S := (n,t) -> (1+t^2 / n^2)^(-n^2) :

> Limit( S(n,t), n = infinity ) : " = value( " ) ;

Lim t

n e

n

t

→+∞

−

+

−



  

  = 1

2 2

2

> F(n) := Int( S(n,t), t = 0..infinity ) :

> with(student) : var := 1+t^2/n^2=1/cos(theta)^2 :

> simplify(changevar(var, F(n), theta ), symbolic ) ;

n cos ( )

ⁿ

d

/

2 1

0

2 ₂

∫

^π −

^{θ θ}

( )( )

F n n n n

n n

( ) := − −

− − →

π π

2

2 3 2 5 5 3 1

2 4 2 6 6 4 2 2

2 2

L L

MAPLE

(6)

II 1 b - Critères de convergence uniforme

{

^{u t}ⁿ

( ) }

n ^{S t}n

^{( )}

^{u t}p

^{( )}

^t ^I p

n

∈

=

∑

∈

Ν

0

Série de fonctions : (I est un intervalle) Théorème :

Il y a convergence uniforme dans les deux cas suivants : Convergence normale

( ) { }

∀ ∈t I u t_n ≤ v_n avec v_n converge Critère d’Abel

( ) ( ) ( )

( )

{ }





= 

∈

∀

majorée et

0, vers te

décroissan et positive avec

t w v t

w v t u I t

n n n

n n

(7)

II 1 2 : Etudier la série de terme général

( )

u t e

n n

n

=

^int

≥ 1

* Déterminer

où

a(t)

et

b(t)

sont des fonctions réelles.

* Tracer

b(t)

sur [0, 4π].

En déduire que

( ) ( ) ∑

⁺^∞

( )

=

= +

1 n

n t u t

b i t a

π

<

π <

+

= −

∑

⁺^∞

=

t t n

nt

n

2 0

1

sin pour

Exercice

(8)

> u := (n,t) -> exp( I*n*t ) / n :

> Sum( u(p,t), p = 1..infinity) : " = value( " ) ;

( )

e

p e

ipt

p

it

=

∑

+∞

^{= −} ⁻

1

1 ln

> simplify( evalc( " ), trig ) ;

( )

cos sin

ln

arctan sin cos pt

p i pt

p t

i t t

p= p

+∞

=

∑ ⁺ ∑

+∞

^{= −} ⁻

− − −

1 1

1 2 2 2

1 cos

,

Pour 0 < t < π

( )

arctan sin cos arctan sin

− − = − cos

−







t t t 

,1 t

1

Critère d’Abel

MAPLE

(9)

> b := t->arctan( sin(t) / (-1+cos(t) ) ) ;



 





−

− −

→

= t

t t :

b cos

arctan sin 1

> plot( { b(t), (-t+Pi) / 2 },t = 0..4*Pi ) ;

b(t)

(-t+π)/2

MAPLE

(10)

II 1 c - Intégration et dérivation

Théorème de dérivation terme à terme :

( ) ( )

u _p t u t

p

p p

'

= +∞

=

∑

⁼ ^_^^

∑

+∞ ^_^^

0 0

Si la série

{

^u^'ⁿ

( )

^t

}

_n_∈Ν converge uniformément sur

I

alors

Théorème d’intégration terme à terme :

Si la série

{

^{u t}ⁿ

( ) }

_n_∈Ν converge uniformément sur

I

alors

( ) ( )

u_p t dt u t dt

a p x

p a

x

= p +∞

=

∑

+∞

∫

⁼

∑ ∫

0 0

⊂ I

(11)

II 2 a - Séries entières

{

^{u t}ⁿ

( )

= ^{a t}ⁿ ⁿ

}

n_∈Ν où ^t ∈^I Série de fonctions

de la forme:

(I est un intervalle)

Rayon de convergence :

Pour |

t | < R

, il y a convergence normale donc uniforme.

Pour |

t |= R

, il faut faire une étude plus précise.

n n n n

n

n a a

R a 1

1 →+∞

+∞ +

→ =

= Lim Lim

(12)

II 1 2 : Etudier la série de terme général

( ) ( )

u t t

n n n

n

=

n

+ ≥

1 1

* Déterminer son rayon de convergence.

* Calculer sa somme.

Exercice

(13)

> u := (n,t) -> t^n / n / (n+1) ;

> Limit( u(n+1,t) / u(n,t), n =infinity) : " = value( " ) ;

( ) ( )

u n t t

n n

n

:= , →

+ 1

( )

Lim t n

n t t

n

→+∞ n

+



  

  =

1

2

> Sum( u(p,t), p=1..infinity ) : " = value( " ) :

> simplify( " ) ;

( ^t ) ( ) ( )

p p

t t t t

t

p

+ = − − + −

=

∑

+∞

¹ ¹ ¹

1

ln ln

MAPLE

(14)

II 2 b - Développement de fonctions usuelles

On utilise le développement en série de Taylor pour une fonction de classe en

_C

^∞

x=0

( )

f t f

p t

p

p n

( ) = !

=

∑

+∞

⁰

0

ATTENTION :

Il faudra calculer le rayon de convergence

( ) ( )

f t = ln 1 − sin t

( ) ( )

g t = arctan 1+ t

( ) ( )

h t t

=  + t

 

ln 1  + arctan 2

Exemples : Exercice

(15)

> f := t -> ln( 1- sin(t) ) ;

> series( f(t), t = 0, 8 ) ;

( )

f : = → t ln 1 − sin t

( )

− − t 1 t − t − t − t − t − t + O t 2

1 6

1 12

1 24

1 45

61 5040

2 3 4 5 6 7 8

> g := t -> arctan( 1+t ) ;

( )

g:= →t arctan 1+ t

> series( g(t), t = 0, 10 ) ;

( )

1 4

1 2

1 4

1 12

1 40

1 48

1 112

1 288

2 3 5 6 7 9 10

π + t − t + t − t + t − t + t + O t

MAPLE

(16)

> h := t -> ln( (1+t) / (1-t) ) + 2*arctan(t) ;

( )

h t t

t t

:= → +

−

 

ln 1  + arctan

1 2

> series( h(t), t=0, 22 ) ;

( )

4 4

5 4 9

4 13

4 17

4 21

5 9 13 17 21 22

t + t + t + t + t + t + O t

> u := (n,t) -> 4*t^(4*n+1) / (4*n+1) ;

( )

u n t t

n

: = , →

+

4 4 1

4 1

> Sum( u(p,t), p=0..infinity ) : " = value( " ) ;

4 4 1

1 5

4 1

t

4

t t

p+ +∞

+ = 















  

∑ ^hypergeom ^, ^, ^, 

MAPLE

(17)

> du := (n,t) -> 4*t^(4*n) ;

( )

du : = n t , → 4 t

⁴ⁿ

> Sum( du(p,t), p=0..infinity ) : " = value( " ) ;

4 4

1

4

4 0

t t

p p

= −

=

∑

+∞

> Int( 4 / (1-x^4), x=0..t ) : " = value( " ) ;

( ) ( )

4

1

₄

2 2

0

− = +

∫

^t

^x ^dx ^arctanh ^t ^arctan ^t

> convert( 2*arctanh (t), ln ) ;

( ) ( )

ln 1 + − t ln 1 − t

Il faut être parfois inventif

MAPLE

(18)

II 2 c - Equations différentielles

( ) ( )

∑

≥

+ −

−

k n

k n nt a k

n n

n 1 L 1

Théorème fondamental : Les séries entières

∑

n

n nt

a et pour

k ∈Ν

^*

ont le même rayon de convergence.

Application aux équations différentielles :

( )

^t ^a

( )

^x ^y^{( )}

( ) ( )

^t ^b ^x

y ^k

k n

k

n +

∑

=

≤

−1 0

avec

développables en séries entières.

( )

a_k t pour k = 0..(n− 1) et

^{b x} ( )

(19)

II 2 c : Déterminer les solutions de

l’équation différentielle homogène linéaire du second ordre

( ¹ ^{+ +} ^t ^t

²

) ^{y t} ^" ^{( ) (} ⁺ ^{2 1} ⁺ ² ^{t y t} ^{) ( )} ^' ⁺ ² ^{y t} ^{( )} ⁼ ⁰

* Directement avec MAPLE.

* Sous forme de séries entières.

Exercice

(20)

> equ := (1+t+t^2)*diff(y(t), t, t)

+2*(1+2*t)*diff(y(t), t)+2*y(t) ;

( ) ^{( )} ⁽ ⁾ ^{( )} ^{( )}

equ t t

t y t t

t y t y t : = + + 

  

  + + 

 

1

²

2 1 2  + 2

2 2

∂

> dsolve( {equ, y(0)=a, D(y)(0)=b }, y(t) ) ;

> dsolve( {equ, y(0)=a, D(y)(0)=b }, y(t), type=series ) ;

( ) ( )

y t a a b t

t t

= + + + +

1

²

( ) ( ) ( ) ( )

y t = + a b t − + a b t

²

+ a t

³

+ b t

⁴

− + a b t

⁵

+ O t

⁶ A contrôler

MAPLE