Séries de fonctions 1

Séries de fonctions

1 Etudier f(x) =



^

1

n n²nx

1 . Calculer f(n) si n est entier.

2 Etudier f(x) =



^

n1 ( )

1 nx

sh , g(x) =



^

0

p ( )²

1 p x .

3 Soit I = ]0, 1]. Nature de la CV sur I de



^xnlnx,



^{(x)nlnx ?}

4 Montrer qu’il existe une unique fonction f définie pour x > 0, de limite nulle en , et telle que :

 x > 0, f(x) f(x1) = ¹₂

x ; montrer que f est continue, intégrable sur [1,[, et calculer



1^ f . 5 Pour x  ℝ\ℤ, on pose f(x) =

limn





 

n

n

j x j

1 . Montrer que f est définie, impaire et 1-périodique. Montrer que si 2x  ℤ, 2f(2x) = f(x) + )

2 (x1

f . Pour xℝ\ℤ on pose g(x) = f(x)cotx. Montrer que g se prolonge en une fonction continue sur ℝ, bornée, g(0) = 0, puis g = 0. Conclusion ?

6 Soit f(x,t) =

t e_^xtsint

, u_n(x) =



^{ } ) 1 (

) , (

n

n f x t dt ; montrer que



^un CVU sur [0,+[ ; montrer que sa somme S est C¹ sur ]0, +[ et la calculer ; conclusion ?

7 Soit f_n(x) =



 n

k k

k x

1





1^nxt_t^dt. Montrer que (f_n) CVU sur ]0,1[, et  =



0^{1  }

) 1 (

u du

e ^u 



1^{ }u du e ^u

.

8 Soit (a_n) une suite de réels. Construire f croissante sur ℝ, continue sauf aux points a_n. 9 Montrer la CVU sur ℝ de

² ) ²

1

( ¹

x n

n n

 



^

10 Soit I = [0,1], f : Iℝ continue. Montrer que



^{(1)ntnf(t)} CVU sur I SSI f(1) = 0.

11 Soit I = ]0, +[, S(x)=



^

 



0( ) !

) 1 (

n

n

n n

x ; montrer que f est définie, C, décroissante et convexe sur I ; S(1) ? Montrer que xS(x) = 1S(x1)

e ; limites, équivalents de S en 0⁺ et en + ?

12 Soit (a_n) une suite positive décroissante et u_n(x) = a_nxⁿ(1x). Montrer que



^un CVS sur I = [0, 1].

Montrer que la série CVN SSI



^a_k^k CV, et CVU SSI _n

n a

lim = 0.

13 On pose f(x) =



^





0

) 2 sin(

2

n

n

n x ; montrer que f est bien définie sur ℝ ; montrer que f est continue ; montrer que f n'est pas dérivable en 0 (on pourra utiliser x_q = _q

2

 ).

14 Soit (b_n) décroissante positive, u_n(x) = b_nsinnx. Montrer que



^un CVU sur ℝ SSI _n

n nb

lim = 0.

15 Soit g 2périodique définie sur [ 1 ,1] par g(x)= x ; soit f(x)=



^

0

) 4 ( 4)

(3 ⁿg ⁿx . Montrer que f est continue sur ℝ, mais n'est dérivable en aucun point. ( h = 0.54^m).