Intégrales à paramètres
I. É TUDES DE FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INTÉGRALES
1) Soitf :x7→
Z π/2
0
cost t+xdt.
(a) Montrer quef est définie et continue surR∗+, et étudier les variations def. (b) Déterminer les limites, puis des équivalents, def en0+ et en+∞.
2) Soitf définie parf(x) = Z 1
0
tx−1 1 +tdt.
(a) Montrer quef est définie et continue surR∗+. (b) Calculerf(x) +f(x+ 1)pourx >0.
(c) Donner un équivalent def(x)quandx→0+ et la limite def en+∞.
3) Des intégrales à paramètre pour le calcul d’intégrales classiques (a) Soit, pourx∈R,f(x) =
Z 1
0
e−x2(1+t2)
1 +t2 dtetg(x) = Z x
0
e−t2dt.
Montrer que f et g sont définies sur R, que la fonction f +g2 est constante, et en déduire la valeur de l’intégrale de Gauss
Z +∞
0
e−t2dt.
(b) Soitf etg les fonctions définies surR+ par : f(x) = Z +∞
0
e−xt
1 +t2dtetg(x) = Z +∞
0
sint x+tdt.
i. Montrer que f et g sont de classe C2 sur ]0,+∞[, et qu’elles sont solutions de l’équation différentielley00+y= 1
x.
ii. Montrer quef etgsont continues en0. En déduire que Z +∞
0
sint t dt= π
2. 4) Théorème de division
Soitf :I→Rune fonction de classeC∞,a∈I etα∈N∗tels quef(k)(a) = 0pour toutk∈[[0, α−1]].
Montrer quegdéfinie surIparg(x) = f(x)
(x−a)α est de classeC∞surI(Indication : utiliser la formule de Taylor avec reste intégral ena).
5) Des formes closes obtenues par dérivation (a) SoitF définie parF(x) =
Z +∞
0
sin (xt) t e−tdt. i. Montrer queF est définie et continue surR.
ii. Montrer queF est en fait de classeC1 surR. CalculerF0(x), en déduire la valeur deF(x).
(b) En dérivant la fonction, déterminer l’expression de la fonctiong:x7→
Z +∞
−∞
eitx−t2dt.
6) Transformée de Laplace
Soitf continue et bornée surR+. On poseL(f) :x7→
Z +∞
0
f(t)e−xtdt. (a) Montrer queL(f)est bien définie surR∗+, et qu’elle y est de classeC∞.
(b) On suppose quef admet une limite finie`non nulle en+∞. Montrer queL (f) (x) ∼
+∞
` x. (c) On supposef T-périodique. Donner un équivalent deL(f)en0+.
(d) On supposef intégrable surR+. Montrer queL (f)est continue en0.
7) Recherche de limites et d’éqiuivalents (a) Soitf : [0,1]→Rcontinue. Chercher lim
x→0+
Z 1
0
xf(t) x2+t2dt. (b) Donner un équivalent pourx→+∞de
Z +∞
0
sint x2+t2dt. (c) Chercher un équivalent lorsquen→ ∞de
Z 1
0
tn 1 +tn dt.
8) Des variables partout !
Soit f :I×R→R,u:I →Ret v :I → Rcontinues. Montrer que la fonctionx7→
Z v(x)
u(x)
f(x, t)dt est continue surI.
II. L A FONCTION G AMMA
La fonctionΓest définie par la relationΓ (x) = Z +∞
0
tx−1e−tdt. 1) Montrer queΓest des classeC∞ sur]0,+∞[.
2) Montrer queΓ (x+ 1) =xΓ (x)pour toutx >0. En déduire la valeur deΓ (n+ 1)pourn∈N.
3) Calculer Γ (1/2) en fonction de l’intégrale de Gauss Z +∞
0
e−t2dt, dont on rappelle que la valeur est
√π
2 . En déduireΓ
n+1 2
pour toutn∈N.
4) Montrer queΓest convexe, d’abord en calculantΓ00, puis sans recourir àΓ00. 5) Le but de cette question est le calcul deΓ0(1) =
Z +∞
0
lnte−1dt.
(a) Montrer que pour toutt∈[0, n],06
1− t n
n−1
6e.e−t. (b) Montrer que lim
n→+∞
Z n
0
ln (t)
1− t n
n−1
dt= Z +∞
0
lnte−1dt.
(c) En constatant que Z n
0
ln (t)
1− t n
n−1
dt= lnn+ Z 1
0
(1−u)n−1
u du, conclure queΓ0(1) =−γ,γ désignant la constante d’Euler.
(d) Calculer alorsΓ0(2).
