Exercices Sommes de Rieman
Calcul intégral – Hiver 2020 – Yannick Delbecque
Intégrales définies
Question 1
Écrire la définition des intégrales définie suivantes, sans évaluer les sommes et les limites.
a) Z 3
1
x2dx, rectangles à droite.
b) Z 3
1
x2dx, rectangles à gauche.
c) Z 3
−1
1−x dx, rectangles à droite.
d) Z 2
1
x2−x dx, rectangles à gauche.
Question 2
Déterminer la valeur des intégrales définies suivantes à l’aide de la définition.
a) Z 1
0
x+1dx
b) Z 1
0
1−x2dx
Exercices Sommes de Rieman 2
Solutions
Question 1 a)
Z3 1
x2dx=lim
n→∞
n
X
k=1
1+2k n
!2
2 n
b) Z3
1
x2dx=lim
n→∞
n
X
k=1
1+2(k−1) n
!2
2 n
c) Z3
−1
1−x dx=lim
n→∞
n
X
k=1
1− −1+4k n
!!4 n
d) Z2
1
x2−x dx=lim
n→∞
n
X
k=1
1+(k−1) n
!2
− 1+(k−1) n
!
1 n
Question 2 a)
Z1 0
x+1dx=lim
n→∞
n
X
k=1
f 0+k n
!
∆x
=lim
n→∞
Xn
k=1
k n+1
!1 n
=lim
n→∞
1 n
Xn
k=1
k n+1
=lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
k n+
n
X
k=1
1
=lim
n→∞
1 n
1 n
n
X
k=1
k+
n
X
k=1
1
=lim
n→∞
1 n
1 n
n(n+1) 2 +n
!
=lim
n→∞
1 n2
n(n+1) 2 +1
=lim
n→∞
(n+1) 2n +1
=lim
n→∞
n(1+1/n)
2n +1
=lim
n→∞
(1+1/n) 2 +1
=(1+1/∞)
2 +1
=1 2+1
=3 2
b) Z1
0
1−x2dx=lim
n→∞
Xn
k=1
f 0+k n
!
∆x
=lim
n→∞
n
X
k=1
1− k n
!2
1 n
=lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
1−k2 n2
=lim
n→∞
1 n
Xn
k=1
1− Xn
k=1
k2 n2
=lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
1− 1 n2
n
X
k=1
k2
=lim
n→∞
1 n n−1
n2
n(n+1)(2n+1) 6
!
=lim
n→∞
1
n n−(n+1)(2n+1) 6n
!
=lim
n→∞1−(n+1)(2n+1) 6n2
=lim
n→∞
6n2−(n+1)(2n+1) 6n2
=lim
n→∞
6n2−n2
1+1n 2+1n 6n2
=lim
n→∞
n2 6−
1+1n 2+1n 6n2
=lim
n→∞
6−
1+1n 2+1n
6
= 6−
1+∞1 2+∞1
6
=6−2 6
=2 3
Calcul intégral – 201-NYB – Hiver 2020
