Montrer que f est n´ecessairement continue au pointa

Universit´e de Cergy-Pontoise Licence L3

Examen de Math´ematiques M. Fang, Hebey, Volte

Dur´ee 3 heures Mai 2008

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Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif.

Questions de cours.1: (1) (2 pts) Soient (E,k · k_E) et (F,k · k_F) deux espaces de Banach, Ω un ouvert de E, a ∈Ω un point de Ω, et f : Ω →F une application. Quand dit-on que f est diff´erentiable au point a ? Qu’appelle-t-on diff´erentielle de f en a ?

(2) (2 pts) Enoncer le th´eor`eme d’inversion locale pour les applications entre espaces de Banach.

Exercice 1: (2 pts) Soient (E,k · k_E) et (F,k · k_F) deux espaces de Banach, Ω un ouvert de E, a∈Ω un point de Ω, et f : Ω→F est une application diff´erentiable au point a. Montrer que f est n´ecessairement continue au pointa.

Exercice 2: (2 pts) Soient (E,k · k_E) et (F,k · k_F) deux espaces de Banach, Ω un ouvert de E, a ∈ Ω un point de Ω, et f, g : Ω → F deux applications telles que f(a) = g(a) = 0. On suppose qu’il existe C >0 et θ >0 tels que

kg(x)−f(x)kF ≤Ckx−ak^1+θ_E

pour tout x ∈ E. Montrer que f est diff´erentiable au point a si et seulement si g est diff´erentiable au point a. Que vaut Df(a) en fonction de Dg(a) ?

Probl`eme: (1) (2 pts) Soit Φ : IR → IR la fonction r´eelle de classe C^∞ d´efinie par Φ(x) = √

1 +x². Montrer que |Φ⁰⁰(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ IR. En d´eduire, `a l’aide du th´eor`eme des accroissement finis, que |Φ⁰(y)−Φ⁰(x)| ≤ |y−x| pour tous x, y ∈IR, puis, en appliquant encore une fois le th´eor`eme des accroissements finis, que

|Φ(y)−Φ(x)−(y−x)Φ⁰(x)| ≤ |y−x|²

pour tous x, y ∈ IR. Pour la seconde application du th´eor`eme des accroissements finis on pourra fixer x ∈ IR et consid´erer la fonction r´eelle de IR dans IR de variable y donn´ee par y→Φ(y)−Φ(x)−(y−x)Φ⁰(x).

(2) (1 pt) SoitE =C⁰([0,1],IR) l’espace vectoriel des fonctions continues deIR dans IR. On munit E de la norme

kuk_C⁰ = max

x∈[0,1]|u(x)| .

On admet pour l’instant que l’espace (E,k · k_C⁰) est un espace de Banach. Montrer que l’application lin´eaire u → R1

0 u(t)dt de E dans IR est continue de E dans IR. Que vaut sa diff´erentielle en un point u∈E ?

(3) (1 pt) Montrer que l’application bilin´eaire (u, v) → R1

0 u(t)v(t)dt de E×E dans IR est continue deE ×E dans IR. Que vaut sa diff´erentielle en un point (u, v)∈E×E ?

(4) (1 pt) Montrer que l’application u → R1

0 u(t)²dt de E dans IR est diff´erentiable sur E.

Que vaut sa diff´erentielle en un point u∈E ?

(5) (2 pts) Sachant que (u + h)³ = u³ + 3u²h + 3uh² + h³, montrer que l’application u → R1

0 u(t)³dt de E dans IR est diff´erentiable sur E. Que vaut sa diff´erentielle en un pointu ∈E ?

(6) (2 pts) Soit Φ : IR → IR l’application de la question (1) ci-dessus. Montrer que l’application u → Φ(u) de E dans E est diff´erentiable sur E. Que vaut sa diff´erentielle en un pointu ∈E ?

(7)(1 pt) Soit Φ :IR→IRl’application de la question (1) ci-dessus. Montrer que l’application u→R1

0 Φ(u)(t)dtde E dansIR est diff´erentiable surE. Que vaut sa diff´erentielle en un point u∈E ?

(8) (2 pts) Montrer que E muni de k · k_C⁰ est un espace de Banach.