Montrer que f est un diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deU mais n’est pas un diff´eomorphisme global

Universit´e Lille I L3 Maths

2011-2012 M-52

9 - INVERSION LOCALE

Exercice 1

a) Soit U le plan priv´e de l’origine, et f(x, y) = (x²−y²,2xy). Montrer que f est un diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deU mais n’est pas un diff´eomorphisme global.

b) Soitg l’application deR² dansR²d´efinie parg(x, y) = (e^xcosy, e^xsiny). Montrer quegest de classe C¹surR²; queDg(x, y) est inversible pour tout (x, y) deR²; mais quegn’est pas un hom´eomorphisme deR² surg(R²).

Exercice 2

Soitf d´efinie parf(x) =x+x²sin^π_x six6= 0 etf(0) = 0.

a) Montrer quef est d´erivable surR, et que f^′(0)6= 0.

b) Montrer que pour toutn∈N^∗,f

1 2n+1

< f _2n¹

< f

1 2n+1/2

. c) En d´eduire quef n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.

Exercice 3

Montrer que sia, bsont voisins de 1, on peut trouverx, y∈Rtels que y+e^xy=a

x+e^−xy=b

Exercice 4

SoitE=Mn(R) etIla matrice unit´e dansE. En consid´erantϕ:E→E telle queϕ(M) =M², montrer qu’il existeα >0 tel que toute matriceAv´erifiant||A−I||< α admette une racine carr´ee.

Exercice 5

D´emontrer le r´esultat suivant (th´eor`eme d’inversion globale) :

SoitE,F deux espaces de Banach,U un ouvert deE et f :U →F une application de classeC¹ surU. Alorsf est unC¹-diff´eomorphisme deU surf(U) si et seulement si :

(i)f est injective ;

(ii)Df(x)∈est inversible pour tout x∈U.

Attention : cela ne montrepasquef :U →F est surjective.

Exercice 6

a) Soitf l’application deR²dansR²d´efinie parf(x, y) = (x+y, xy). Trouver un ouvert connexe maximal U ⊂R² tel quef soit un diff´eomorphisme deU surf(U).

1

b) Montrer que l’applicationϕ: (r, θ)→(x, y) = (rcosθ, rsinθ) est un C¹-diff´eomorphisme de l’ouvert ]0,∞[×]−π, π[ sur le plan priv´e de la demi-droite R⁻. Si f(x, y) = g(r, θ) donner les formules de passage entre les d´eriv´ees partielles def et celles de g.

Exercice 7

On consid`ere l’application ϕ de R³ dans lui-mˆeme d´efinie par (x, y, z) → (e^2y+e^2z, e^2x−e^2z, x−y).

Montrer queϕest unC¹-diff´eomorphisme deR³sur son image que l’on pr´ecisera.

Exercice 8

Soita, b∈Rtels que|ab|<1, etf :R²→R²d´efinie parf(x, y) = (x+asiny, y+bsinx). Montrer que f est un diff´eomorphisme deR² sur lui-mˆeme.

Exercice 9

Soitg:R→Rune application de classeC¹, telle que|g^′(x)| ≤kpour toutxr´eel, o`uk∈]0,1[. On pose F(x, y) = (x+g(y), y+g(x))

a) Montrer queF est unC¹-diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deR².

b) En appliquant le th´eor`eme du point fixe `aφ(x, y) = (a−f(y), b−f(x)) pour (a, b)∈R², montrer que F :R²→R² est bijective. Conclure.

Exercice 10

Soitf :Rⁿ→Rⁿ une application de classeC¹ telle que

∀x, y ∈Rⁿ, ||f(x)−f(y)|| ≥k||x−y||

o`uk >0 est une constante.

a) Montrer quef est de classeC¹et queDf(x) est inversible pour toutx∈Rⁿ. En d´eduire quef est un C¹-diff´eomorphisme deRⁿ sur son image, et quef(Rⁿ) est un ouvert deRⁿ.

b) Montrer quef(Rⁿ) est un ferm´e deRⁿ.

c) En d´eduire quef est unC¹-diff´eomorphisme deRⁿ sur lui-mˆeme.

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