Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques
Licence (S 6)
M 310 : CALCUL DIFF ´ERENTIEL Corrig´e du partiel de mars 2010
Dur´ee 2 heures
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
Le bar`eme est indicatif
Question de cours (3 points)
1. Th´eor`eme des accroissements finis sur un ouvert convexe :
Soit E, F des espaces vectoriels norm´es, U un ouvert convexe deE, f : U →Fune application diff´erentiable. On suppose qu’il existe une constante k >0 telle que
∀ξ∈U ||DF(ξ)|| ≤k
Alors pour tout couple de points (x, y) dansU, on a l’in´egalit´e suivante :
∀x, y∈U ||f(x)−f(y)|| ≤k||x−y||
2. Th´eor`eme d’inversion locale :
Soit E, F des espaces vectoriels norm´es complets (espaces de Banach), U un ouvert de E, et f : U → F une application de classe C1. Soit a∈U. On suppose queDf(a)∈Gl(E, F) (c’est `a dire queDf(a) est un isomorphisme lin´eaire deEsurF, queDf(a) est continue et queDf(a)−1 est continue). Alors il existe des ouvertsV etW,a∈V ⊂U,f(a)∈W ⊂ F, tels que la restriction def `a V soit un C1-diff´eomorphisme de V sur W.
Exercice 1 (4 points)
On consid`ere la fonctionF :R2→R2 d´efinie par F(x, y) = (x2+y2, xy)
1. Chaque coordonn´ee de F est une fonction polynˆomiale en x, y, donc de classeC1. Il en est de mˆeme pourF.
2. On d´efinit Ω ={(x, y);x6=y, x6=−y}. Consid´erons les fonctionsg(x, y) = x−y et h(x, y) = x+y. L’ensemble Ω s’´ecrit : Ω =g−1(R∗)∩h−1(R∗).
C’est donc l’intersection de deux ouverts (images r´eciproques par des ap- plications continues de l’ouvertR∗) et donc Ω est un ouvert de R2.
3. La matrice jacobienne deF au point (x, y)∈R2 est 2x 2y
y x
et son d´eterminant est 2(x2−y2) qui ne s’annule pas en (x, y)∈Ω. Comme F est de classe C1 et sa diff´erentielle est inversible en tout point de Ω, d’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale, c’est un C1-diff´eomorphisme local en tout point de Ω.
On sait qu’un diff´eomorphisme local est une application ouverte et donc F(Ω) est un ouvert.
4. SiF ´etait un diff´eomorphisme local au voisinage de (1,1), sa diff´erentielle en (1,1) serait inversible, ce qui n’est pas le cas. En fait, on peut constater que la fonction F n’est injective sur aucun voisinage ouvert de (1,1), et elle n’est donc pas un hom´eomorphisme local au voisinage de ce point. En effet, on remarque imm´ediatement que, pour tout (x, y)∈R2 ,F(x, y) = F(y, x). SoitV un voisinage ouvert quelconque de (1,1), et consid´erons son imageV0 par l’hom´eomorphismeϕ: (x, y)→(y, x), qui est encore un voisinage ouvert de (1,1). Donc W = V ∩V0 est un voisinage de (1,1) stable parϕ. Soit (x, y)∈W, x6=y. Supposons pour fixer les id´ees que x < y. Alorsϕ(x, y) = (y, x)∈W, (x, y)6= (y, x) etF(x, y) =F(y, x).
Exercice 2 (6 points)
On consid`ere l’applicationF :R2→R2 d´efinie par F(x, y) = (x3+y3,(x−y)3)
et l’on noteF(k)=F◦ · · · ◦F la compos´ee k-fois deF avec elle-mˆeme. On consid`ere l’ensemble Ω ={(x, y)∈R2; limk→∞F(k)(x, y) = (0,0)}.
1. Chaque composante deF est une fonction polynˆomiale en (x, y) et donc de classeC1. DoncF est elle-mˆeme de classeC1.
2. Pour toutk,F(k)(0,0) = (0,0) et donc ´evidemment limk→∞F(k)(0,0) = (0,0). Donc par d´efinition (0,0)∈Ω.
3. La matrice jacobienne deF en (x, y) est 3x2 3y2
3(x−y)2 −3(x−y)2
qui tend clairement vers la matrice nulle lorsque (x, y) tend vers (0,0).
Donc pour tout > 0 il existe r() > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ B((0,0), r()),||DF(x, y)|| ≤. En particulier pour= 12, il exister >0 tel que pour tout (x, y)∈B((0,0), r),||DF(x, y)|| ≤ 12.
D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `a l’ouvert convexe B((0,0), r),||F(x, y)−(0,0)|| ≤ 12||(x, y)|| ≤ 12r. En particulier F(x, y)∈
B((0,0), r). On peut recommencer avec F(x, y) `a la place de (x, y) et montrer par r´ecurrence surkque
∀(x, y)∈B((0,0), r) F(k)(x, y)≤ 1
2k||(x, y)||
Il s’ensuit que, pour tout (x, y)∈B((0,0), r), limk→∞F(k)(x, y) = (0,0) et doncB((0,0), r)⊂Ω et que Ω est un voisinage de (0,0).
4. Soit (x, y) ∈ Ω. Par d´efinition de Ω, il existe un entier l ≥ 1 tel que F(l)(x, y) soit arbitrairement proche de (0,0), en particulier dansB((0,0), r).
Alors (F(l))−1(B((0,0), r)) contient (x, y) et est l’image r´eciproque de l’ou- vert B((0,0), r) par l’application continueF(k) et est donc un voisinage ouvert de (x, y).
Par ailleurs, si (x0, y0)∈(F(l))−1(B((0,0), r)),F(l)(x0, y0)∈B((0,0), r) et limk→∞F(k)(F(l)(x0, y0)) = limk→∞F(k+l)((x0, y0)) = (0,0). Donc (x0, y0)∈ Ω.
En r´esum´e, (F(l))−1(B((0,0), r)) est un voisinage ouvert de (x, y) contenu dans Ω. On a montr´e que tout point (x, y) de Ω poss`ede un voisinage contenu dans Ω. C’est dire que Ω est ouvert.
5. On remarque que, si t ∈ R, F(tx, ty) = t3F(x, y). On en d´eduit par r´ecurrence queF(k)(tx, ty) =t3kF(k)(x, y). Donc si (x, y)∈Ω et 0≤t≤1, limk→∞t3kF(k)(x, y) = (0,0) ett(x, y)∈Ω.
On en d´eduit imm´ediatement que Ω est connexe par arc : si (x, y) ∈ Ω et (x0, y0)∈ Ω, le chemin constitu´e des segments reliant (x, y) `a (0,0) et reliant (0,0) `a (x0, y0) est enti`erement contenu dans Ω. Il s’ensuit que Ω est connexe.
Exercice 3 (7 points)
1. Soitk un nombre r´eel tel que 0< k <1 et u∈ C1(R,R). Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) ∀x, y∈R |u(x)−u(y)| ≤k|x−y|
(ii) ∀x∈R |u0(x)| ≤k Supposons en effet (i). Alorsu0(x) = limh→0u(x+h)−u(x)
h et donc|u0(x)|= limh→0|u(x+h)−u(x)|
|h| . L’hypoth`ese (i) entraˆıne que |u(x+h)−u(x)|
|h| ≤ k et
donc `a la limite|u0(x)|= limh→0|u(x+h)−u(x)|
|h| ≤k.
Dans l’autre sens, supposons (ii). Le th´eor`eme des accroissements finis implique que|u(x)−u(y)| ≤ |x−y|Supz∈[x,y]|u0(z)| ≤k|x−y|.
Une telle fonction sera ditek-contractante.
2. On se donne un r´eel k, 0 < k < 1 et une fonction u ∈ C1(R,R) k- contractante. On pose g(x, y) = (−u(y), u(x)) pour tout (x, y) ∈ R2 et f =IdR2+g.
L’espaceR2 est muni de la norme||(x, y)||=Sup(|x|,|y|).
(a) Pour v´erifier quegest de classeC1il suffit de v´erifier que chaque com- posante deg est de classeC1. La premi`ere composante par exemple est la compos´ee deuqui est de classeC1par hypoth`ese avec la projec- tion (x, y)→y, qui est lin´eaire continue et donc de classeC1. Quant
`
af, c’est la somme deIdqui est de classeC1 avecg; c’est donc une fonction de classeC1.
La jacobienne def en (x, y) s’´ecrit 1 −u0(y)
u0(x) 1
dont le d´eterminant 1 +u0(x)u0(y) v´erifie |1 +u0(x)u0(y)| ≥ 1 −
|u0(x)u0(y)| ≥1−k2>0. La matrice jacobienne def est donc inver- sible queR2.
(b) La diff´erentielle deg en (x, y) est l’application lin´eaire (h1, h2)→(−u0(y)h2, u0(x)h1)
et clairement||(−u0(y)h2, u0(x)h1)|| ≤k||(h1, h2)||. Donc||Dg(x, y)|| ≤ k. Le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `a g sur R2 donne alors
(?) ∀v1, v2∈R2 ||g(v1)−g(v2)|| ≤k||v1−v2||
Pour ce qui concernef, f(v1)−f(v2) = (v1−v2) + (g(v1)−g(v2)) et donc||f(v1)−f(v2)|| ≥ ||v1−v2|| − ||g(v1)−g(v2)|| ≥ ||v1−v2|| − k||v1−v2||. On obtient
(??) ∀v1, v2∈R2 ||f(v1)−f(v2)|| ≥(1−k)||v1−v2||
(c) Soit (a, b)∈R2 fix´e. On consid`ere l’applicationφ: (x, y)7→(a, b)− g(x, y). Elle est aussi de classeC1 et la relation pr´ec´edente implique que pour tous v1, v2 ∈ R2, ||φ(v1)−φ(v2)|| = ||g(v1)−g(v2)|| ≤ k||v1−v2||. Par r´ecurrence on montre que ||φ(n)(v1)−φ(n)(v2)|| ≤ kn||v1−v2||, o`uφ(n)d´esigne la compos´ee deφavec elle-mˆemenfois.
Le th´eor`eme du point fixe assure l’existence d’un point fixe pour φ. En effet, choisissons v ∈ R2 arbitraire et posons vn = φ(n)(v).
Les in´egalit´es pr´ec´edentes montrent que||vn+1−vn|| ≤kn||v1−v0||
et donc que vn est une suite de Cauchy. Comme R2 est complet, vn converge vers un pointν ∈ R2. La relation vn+1 = φ(vn) et la continuit´e de Φ entraˆıne queν=φ(ν).
Supposons enfin que ν1 et ν2 soient deux points fixes de φ. On a l’in´egalit´e||ν1−ν2||=||φ(ν1)−φ(ν2)|| ≤k||ν1−ν2||ce qui implique queν1=ν2.
(d) Le fait queν =φ(ν) se traduit parν = (a, b)−g(ν) ; autrement dit f(ν) = (a, b). Le point (a, b) ´etant arbitraire, cela prouve la surjecti- vit´e def.
Soitv1, v2 ∈R2, f(v1) =f(v2) si et seulement siv1−v2 =g(v2)− g(v1), ou encore v1−v2 = φ(v1)−φ(v2). Donc si f(v1) = f(v2),
||v1 −v2|| = ||φ(v1)−φ(v2)|| ≤ k||v1−v2||, ce qui implique que v1 =v2. On a montr´e que f est injective. On peut aussi remarquer que l’injectivit´e est une cons´equence imm´ediate de la relation (??).
En r´esum´efest bijective deR2dans lui-mˆeme, et unC1diff´eomorphisme local. C’est donc unC1-diff´eomorphisme deR2 dans lui-mˆeme.
(e) Montrons que la fonction d´efinie par u(x) =e−x2 est contractante surR. On calcule la d´eriv´eeu0(x) =−2xe−x2. L’´etude de la fonction u0(x) montre que|u0(x)|admet un maximum pourx=±√1
2 et que ce maximum estq
2 e <1.
On peut donc appliquer les r´esultats des questions pr´ec´edentes. Soit h=f−1. C’est une fonction de∈ C1(R2,R2) et elle v´erifieh◦f =Id c’est `a dire
∀(x, y)∈R2, h(x−e−y2, y+e−x2) = (x, y).
Liste des ´ enonc´ es qui peuvent faire l’objet d’une question de cours
1. Ch 1, D´ef. 1.2. D´efinition de la diff´erentiablit´e d’une fonction en un point.
2. Ch 3, D´ef. 1.1. D´efinition d’un (C1)-diff´eormorphisme.
3. Ch 3, D´ef. 1.5. D´efinition d’un (C1)-diff´eormorphisme local.
4. Ch 2, Cor. 1.4. Th´eor`emes des accroissements finis sur un ouvert convexe.
5. Ch 2, Th. 2.3 et Cor. 2.4. Caract´erisation des fonctions de classeC1. 6. Ch 3, Th. 1.4 et Th. 1.6. Th´eor`eme d’inversion locale.
7. Ch 3, Prop. 1.8. Th´eor`eme de l’image ouverte.
8. Ch 3, Th. 2.1. Th´eor`eme des fonctions implicites.