8. Diff´ eomorphisme et changement de variables
1 Diff´eomorphisme et jacobien
2 Mesure des bor´eliens transform´es par application affine
3 Mesure des bor´eliens transform´es par diff´eomorphisme
4 Changement de variables dans les int´egrales
contexte
L’espace mesur´e est (Rn,B, µ), o`u µest la mesure de Lebesgue.
On veut calculer Z
W
f(y)dµ(y), o`u W ouvert de Rn,
par un changement de variables Φ :V →W, o`u Φdiff´eomorphisme.
1. Diff´ eomorphisme et jacobien
Soient V et W deux ouverts deRn. Φ :V −→ W x=
x1
... xn
7−→ Φ(x) =
Φ1(x)
... Φn(x)
Definition (diff´eomorphisme)
On dit que Φ :V →W est un diff´eomorphisme siΦ est une bijection telle que Φet Φ−1 sont de classe C1.
Diff´ erentielle
Φ :V →W est diff´erentiable enx∈V si elle y ressemble `a une application lin´eaire, pr´ecis´ement il existe une applicationL:Rn→Rnlin´eairetelle que
∀h∈Rn, Φ(x+h)−Φ(x) =L(h) +o(h)
Cette application L s’appelle la diff´erentielledeΦ au pointx, et se note DΦ(x).
DΦ(x) :Rn −→ Rn h 7−→ DΦ(x)h Si Φest diff´erentiable en tout pointx∈V et si
DΦ :V −→ L(Rn;Rn) x 7−→ DΦ(x) est continue, on dit que Φ∈ C1(V).
Jacobienne et jacobien
Si Φ :V →W est diff´erentiableenx∈V, on d´esigne parJΦ(x) la matrice (dans les bases canoniques) de sa diff´erentielleDΦ(x). Cette matrice JΦ(x) s’appelle la jacobienne.
JΦ(x) =
∂Φ1
∂x1(x) · · · ∂Φ∂x1
n(x) ... ... ...
∂Φn
∂x1(x) · · · ∂Φ∂xn
n(x)
= ∂Φ
∂x1(x),· · ·, ∂Φ
∂xn(x)
Son d´eterminant, det(JΦ(x))∈Rs’appelle le jacobien.
Si Φ :V →W est un diff´eomorphisme :
son jacobien det(JΦ(x)) ne s’annule pas et garde un signe constant.
det (JΦ(x)) det (JΦ−1(φ(x))) = 1
2. Mesure des bor´ eliens transform´ es par application affine
Soit une application affine :
g:Rn −→ Rn
x 7−→ g(x) =Ax+b o`uA est une matrice n×net ∈Rn.
Lemme
Pour tout bor´elienE deRn, on a :
µ(g(E)) =|det(A)|µ(E) Remarque : (∀x∈Rn) Jg(x) =A
3. Mesure des bor´ eliens transform´ es par diff´ eomorphisme
Soit Φ :V →W un diff´eomorphisme.
Th´eor`eme
Pour tout bor´elienE ⊂V,
µ(Φ(E)) = Z
V
1E|det(JΦ)|dµ
Avec le lemme pr´ec´edent, ce th´eor`eme est d´emontr´e lorsqueΦ est affine.
La d´emonstration dans le cas d’un diff´eomorphisme quelconque rel`eve de techniques d’approximation . . .
Corollaire : pour tout bor´elienA⊂W = Φ(V), on a Z
W
1Adµ= Z
V
1A◦Φ|det(JΦ)|dµ
4. Changement de variables dans les int´ egrales
Soit Φ :V →W un diff´eomorphisme.
Th´eor`eme
1 Pour toute fonction f :W →[0,+∞](positive) mesurable, on a Z
W
f dµ= Z
V
f◦Φ|det(JΦ)|dµ
2 Pour toute fonction f :W →Cmesurable, on a
f ∈L1(W) ⇐⇒ f◦Φ|det(JΦ)| ∈L1(V) et sif ∈L1(W), alors on a :
Z
W
f(y)dµ(y)= Z
V
f◦Φ(x)|det(JΦ(x))|dµ(x)
Sch´ ema de la d´ emonstration . . .
c’est l’enchaˆınement classique . . .
pour f fonction indicatrice : par le th´eor`eme pr´ec´edent pour f fonction simple : par lin´earit´e
pour f ≥0 : par Beppo Levi
pour f ∈R mesurable : on s´eparef+ et f− pour f ∈Cmesurable : on s´epare Re(f) et Im(f)
