1.2 - Etudier par Fourier la stabilit´eL2 du sch´ema suivant les valeurs deθ

TD2 Analyse Num´erique et Optimisation H. Haddar M´ethode des diff´erences finies pour les ´equations paraboliques

Exercice 1. Analyse de stabilit´e L² du θ-sch´ema

On s’int´eresse `a la r´esolution du probl`eme d’´evolution :







∂u

∂t −∂²u

∂x² = 0, x∈R, t >0, u(x,0) =u0(x) x∈R,

(1)

avec u(·, t) et u0 p´eriodiques de p´eriode 1. On consid`ere le sch´ema aux diff´erences finies qui s’´ecrit, avec les notations habituelles :

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

∆t − θ uⁿ⁺¹_j+1 −2uⁿ⁺¹_j +uⁿ⁺¹_j−1

∆x²

− (1−θ) uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1

∆x² = 0,

θd´esignant un param`etre r´eel entre 0 et 1.

1.1 - Discuter l’ordre et le caract`ere explicite du sch´ema en fonction de θ.

1.2 - Etudier par Fourier la stabilit´eL² du sch´ema suivant les valeurs deθ.

Exercice 2. Analyse L^∞ du sch´ema explicite Pour approcher la solution de l’´equation de convection-diffusion (ν≥0),

∂u

∂t +V∂u

∂x−ν∂²u

∂x² = 0 on consid`ere le sch´ema num´erique suivant :

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

∆t +Vuⁿ_j −uⁿ_j−1

∆x

−νuⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1

∆x² = 0 (2)

compl´et´e par la condition initiale : u⁰_j =u0(xj).

2.1 - Donner l’algorithme de calcul de la solution (on introduira β = ν_∆x^∆t2 et α = V_∆x^∆t). Expliquer pourquoi la solution num´erique uⁿ_j se propage “`a vi- tesse finie”.

Dans la suite on adoptera la notation : uh:= (uj) et kuhk∞:= sup_j|uj|avech= ∆x.

2.2 - Montrer que si V ≥ 0 et α+ 2β ≤ 1 alors la solution discr`ete v´erifie le principe du maximum discret :

a≤u⁰_j ≤b⇒a≤uⁿ_j ≤b.

En particulierkuⁿ_hk_∞≤ ku⁰_hk_∞(on dit que le sch´ema est donc L^∞stable).

2.3 - Montrer que cette condition est n´ecessaire lorsque V ≥0.

Qu’en est-il pourV <0 ? Que se passe t-il lorsqueν= 0 ?

Quel est le r´esultat de convergence qui en d´ecoule ? 2.4 - Etudier la convergence L² du sch´ema.

Exercice 3. Sch´emas de Richardson et de DuFort-Frankel.

On s’int´eresse `a l’´equation de la chaleur en dimen- sion 1 :

∂u

∂t −∂²u

∂x² = 0 x∈R, t >0 (3) que l’on approche `a l’aide du sch´ema de Richardson :

uⁿ⁺¹_j −uⁿ⁻¹_j

2∆t −uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1

∆x² = 0 (4)

3.1 - Quel est a priori l’inconv´enient pratique de ce sch´ema ? Montrer qu’il s’agit d’un sch´ema du second ordre en espace et en temps mais inconditionnelle- ment instable.

1

3.2 - Dans (4), on remplace uⁿ_j par ^u

n+1 j +uⁿ⁻¹_j

2 . On obtient ainsi le sch´ema de DuFort-Frankel. Montrer que ce sch´ema est explicite et inconditionnellement stable.

3.3 - Analyser l’erreur de troncature du sch´ema de DuFort-Frankel et conclure (le sch´ema n’est consis- tant que si ∆t/∆xtend vers 0). Ce r´esultat ´etait-il pr´evisible ?

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